entropia di entanglement in teorie invarianti conformi bidimensionali

CAPITOLO 4. ENTROPIA DI ENTANGLEMENT IN QFT 1+1 51
primari 〈σ(u, ū)˜σ(v, ¯v)〉C con pesi conformi hσ = h˜σ = ¯ hσ = ¯ h˜σ = c
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ovvero:
〈T (n) (w)σ(u)˜σ(v)〉C = hσ
(u − v) 2
1 n − : n
(w − u) 2 (w − v) 2 〈σ(u)˜σ(v)〉C; (4.15)
〈T (n) (w)〉Rn ∼ 〈T (n) (w)σσ〉C
. (4.16)
〈σσ〉C
Bisogna precisare che l’ uguaglianza delle espressioni (4.13) e (4.15) è corretta
se la coordinata w ∈ R n nella (4.13) puo’ essere pensata come coordinata in C,
cioè in un singolo foglio, nella (4.15). Questo è il caso perché tutte le n CFT
hanno proprietà di trasformazioni identiche indipendenti dall’ i-esimo foglio della
superficie di Riemann in cui si trova w.
Poiché il tensore energia impulso si ottiene da variazioni delle coordinate dell’
azione:
〈T (n) (w)〉Rn ≡
Rn D (n) [ψ] T (n) (w)e−S(n) [ψ]
Rn D (n) [ψ] e−S(n) [ψ]
possiamo confrontare la (4.16) e (4.17) e concludere che che Trρ n A
= δ〈0|0〉R n
〈0|0〉Rn , (4.17)
trasforma co-
me la funzione a due punti 〈σ(u, ū)˜σ(v, ¯v)〉C. Per l’invarianza conforme questo è
sufficiente a stabilire:
〈0|0〉R n
[〈0|0〉C] n = ˜ k(n)〈σ(u)˜σ(v)〉C; ˜ k(1) = 1, (4.18)
dove la costante di normalizzazione ˜ k puo’ dipendere da n ma non da L. Applicando
la definizione (4.8) dell’ entropia di entanglement all’ espressione (includendo la
dipendenza antiolomorfa):
〈σ(u, ū)˜σ(v, ¯v)〉C =
1
|u − v| c
6(n− 1 , (4.19)
n)