entropia di entanglement in teorie invarianti conformi bidimensionali

CAPITOLO 5. FERMIONI SUL TORO 74
Risulta quindi per l’ entropia di entanglement nel settore ν = 3:
S3 = S0 + ˜ S3, (5.34)
S0 = 1
3 log
Λ L
sin π +
π Λ
4
∞ 1 q
3 m
m=1
m
1 − qm sin2mπ L
,
Λ
(5.35)
∞ (−1)
˜S3 = 4
m q
m
m
2
1 − qm L
πm
Λ cotπ L
Λ m − 1 . (5.36)
m=1
Notiamo che la scomposizione in due termini dell’ entropia di entanglement, (5.34),
è conseguenza della forma fattorizzata del correlatore (5.30).
Il primo termine S0 deriva dal contributo della prime form, (5.24) ed è comune
a tutti i settori. Il secondo termine ˜ S3 è ottenuto utilizzando la relazione (valida
indipendentemente dalla parità di n):
con µ = πm L
Λ .
− d
dn
n=1
n−1
2
k=− n−1
2
5.4.3 Altri settori di spin
sin 2
µ k
n
= 1
(µ cot µ − 1), (5.37)
2
Il calcolo della (5.31) puo’ essere effettuato anche nei settori di spin ν = 2, 4
utilizzando l’analogo delle (5.32) e (5.33) per le funzioni θ2(0|τ) e θ4(0|τ), [42]:
∞
θ2(z|τ)
(−1)
log
= log(cos πz) + 4
θ2(0|τ)
m=1
m
m
∞
θ4(z|τ) 1 q
log
= 4
θ4(0|τ) m
m
2
1 − qm sin2 (mπz). (5.39)
m=1
Utile per il calcolo nel settore di spin ν = 2 è anche l’identità:
− d
dn
n=1
n−1
2
k=− n−1
2
k
−2iµ
log(1 + e n ) =
q m
1 − q m sin2 (mπz), (5.38)
∞
(−1) m µ cot µm. (5.40)
m=1