entropia di entanglement in teorie invarianti conformi bidimensionali

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CAPITOLO 6. PROPRIETÀ DELL’ ENTROPIA DI ENTANGLEMENT 82 6.3.2 Limite termico negli altri settori di spin Il limite L → Λ, nel settore ν = 2, si effettua analogamente nell’ espressione ˜ S2(˜q), (6.7). Si ottiene ancora l’entropia termica di questo settore: lim L Λ →1 ˜S2(˜q) = S T 2 (β), (6.24) espressa dalla derivata del logaritmo della funzione di partizione, (vedi par.6.3.1): 1 θ4 − τ Z2(˜q) = η − 1 τ 2 1 − = ˜q 12 ∞ m=1 1 m− (1 − ˜q 2 ) 4 . (6.25) Per il settore ν = 4, diamo prima l’espressione dell’ entropia termica, S T 4 (β) = 1 θ2 − τ Z4(˜q) = η − 1 τ 2 = ∞ m=1 4˜q 1 6 (1 + ˜q m ) 4 , (6.26) 1 − β ∂ log Z4(˜q) (6.27) ∂β = 2 log 2 − 2π 3β + 4 1 − ∂ ∞ 2πmL − log(1 + e β ). (6.28) ∂β m=1 Questo risultato si ottiene dal limite L → Λ dell’ espressione ˜ S4(˜q), (6.8), utiliz- zando l’ identità: 2 ∞ m=1 m πL (−1) β coth πmL β = −πL β + 4π ∞ m=1 m L (−1) β 1 e 2πmL β − 1 che si puo’ dimostrare usando la regolarizzazione: ∞ m=1 (−1)m = − 1 2 . , (6.29)
CAPITOLO 6. PROPRIETÀ DELL’ ENTROPIA DI ENTANGLEMENT 83 6.4 Limite di alta temperatura Consideriamo le espressioni dell’ entropia di entanglement nel limite di alta temperatura, tenendo le dimensioni spaziali del sistema fissate: Λ β → ∞, L β Nel settore ν = 3, otteniamo: → ∞, L Λ S0(˜q) + ˜ S3(˜q) ∼ πL 3β finito, ˜q = e−2π Λ β → 0. (6.30) 1 β + log 3 2πa + Oe (Λ−L) −2π β . (6.31) Il primo termine corrisponde all’entropia termica leading per un sistema di lun- ghezza L: S T 3 (β) ∼ πL 3β + O Λ −π e β + O(1), (6.32) in accordo con l’intuizione che la correlazione quantistica fra le regione A e B si perde ad alte temperature. I termini subleading termici O Λ −2π e β (toro) oppure O(1) = log(gigj) (anello con boundary conforme) non sono riprodotti dall’ entropia di entanglement (6.31) negli sviluppi in serie termine a termine. L’analisi del disaccoppiamento (disentangled) di tutti gli stati eccitati nel limite termodinamico richiede una risommazione della serie che non sarà discussa in questa tesi. 6.5 Entropia del primo stato eccitato Per identificare il primo stato eccitato confrontiamo l’ entropia termica con l’ entropia di entanglement a basse temperature; formalmente entrambe saranno date β −2π dallo sviluppo in serie q = e Λ → 0. Infatti l’ operazione di traccia parziale sui gradi di libertà del sistema in B ≡ Λ−L è realizzabile stato per stato nella matrice
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Università degli Studi di Firenze
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INDICE iv 5.4.1 Correlatore tra cam
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SOMMARIO vi (Cap.3). In un sistema
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Capitolo 1 Introduzione alle teorie
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CAPITOLO 1. TEORIE DI CAMPO INVARIA
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Capitolo 2 Teorie conformi con bord
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CAPITOLO 2. TEORIE CONFORMI CON BOR
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