entropia di entanglement in teorie invarianti conformi bidimensionali

CAPITOLO 1. TEORIE DI CAMPO INVARIANTI CONFORMI 6
(trasformazioni conformi globali):
z → w(z) =
αz + β
; α, β, γ, δ ∈ C; ∆ = αδ − βγ = 0. (1.12)
γz + δ
In forma infinitesima esse corrispondono alla scelta: ε(z) = α + βz + γz 2 ovvero a
traslazioni, dilatazioni ed inversioni. In tutti gli altri casi le trasformazioni conformi
introducono delle singolarità e non corrispondono a simmetrie degli stati della
teoria. Ad ogni modo sarà possibile determinare la covarianza della teoria, ovvero
le variazioni dei correlatori dei campi per arbitrarie trasformazioni conformi.
Una teoria di campo invariante conforme (CFT ) possiede dei particolari campi
φ h ¯ h(z, ¯z), detti primari (ad esempio lo spin nel modello di Ising o qualunque altro
operatore rilevante al punto critico), che trasformano in modo covariante come dei
tensori:
φ h ¯ h(z, ¯z) →
dw
dz
h ¯ h
d ¯w
φh¯ d¯z
h(w, ¯w), z → w(z), ¯z → ¯w(¯z). (1.13)
Le quantità reali (h, ¯ h) ≡ i sono dette pesi conformi di φ h ¯ h ≡ φi; ∆ = h + ¯ h è la
dimensione di scala e s = h − ¯ h lo spin conforme. L’ invarianza per trasformazioni
conformi globali (1.12) determina univocamente la forma della funzione a due punti:
〈φi(z1, ¯z1)φj(z2, ¯z2)〉 =
δij
(z1 − z2) 2h ( ¯z1 − ¯z2) 2¯ h =
δij
|z1 − z2| 2∆
¯z1 − ¯z2
z1 − z2
s
. (1.14)
È analogamente fissata anche la forma della funzione a tre punti di campi primari
e restrizioni sono poste su quella a quattro punti, [2].
La fattorizzazione dei settori olomorfi ed antiolomorfi è sottolineata dalla forma
del tensore energia impulso in coordinate complesse z, ¯z:
Tzz = 1
T11−2iT21−T22 ; Tz¯z = T¯zz =
4
1
4
T11+T22
; T¯z¯z = 1
T11+2iT21−T22 .
4
(1.15)