entropia di entanglement in teorie invarianti conformi bidimensionali

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CAPITOLO 2. TEORIE CONFORMI CON BORDO (BCFT) 24 dunque più invariante per traslazioni. Nell’ origine z = 0 è applicato un opportuno campo φαβ(z = 0), sul vuoto invariante conforme |0〉 che realizza il cambiamento di condizioni al contorno α → β. Il campo φαβ(z = 0) è un operatore definito esclusivamente sul bordo, vedi Figura 2.1(a). H w Z x 2π R 0 spazio di Hilbert degli stati t=cost evoluzione radiale β φ αβ (0) β Hαβ α (b) (a) α C + t=cost Figura 2.1: (a) Il semipiano complesso H nella cui origine sono collocati gli stati dello spazio di Hilbert della striscia (b). Tali stati evolvono nella direzione radiale con l’ hamiltoniana Hαβ. L’ hamiltoniana della teoria quantistica è ottenuta dalla trasformazione al semipiano z come nel par. 1.2.4; indicando con Tstr(x, t) il tensore energia impulso sulla striscia e con T (z) quello nel semipiano abbiamo analogamente: Hαβ = 1 2πR dx (Tstr)tt = 2π 0 1 dw Tstr(w) − 2πi t=cost 1 d ¯w 2πi t=cost ¯ Tstr( ¯w) = 1 1 dz zT (z) − 2πi 2R c 1 − 24 z 1 1 d¯z ¯z 2πi 2R ¯ T (¯z) − c 1 . 24 ¯z C+ C+ t
CAPITOLO 2. TEORIE CONFORMI CON BORDO (BCFT) 25 Imponendo per Im(z) = 0, T (z) = ¯ T (z) (T12 = 0, flusso di momento nullo at- traverso il bordo 1 ) è possibile definire T (z) nel semipiano inferiore mediante una riflessione di Schwartz: T (z ∗ ) = ¯ T (z), Im(z ∗ ) < 0. (2.2) In questo modo si ottiene una descrizione della CF T con bordo nell’ intero piano complesso ma in termini di una sola algebra (chirale) di Virasoro: _ C + Hαβ = 1 1 2πi 2R z z* (a) C+ C dz zT (z) − c 24 1 z = 1 2R (L0 − c ). (2.3) 24 Figura 2.2: Cammini equivalenti, dopo l’estensione nel semipiano inferiore del tensore energia impulso T (z) per il calcolo dell’ hamiltoniana della quantizzazione radiale. Chiaramente ogni quantità antiolomorfa ¯ φ(¯z) ∈ H andrà similmente riflessa nel punto immagine z ∗ . La funzione di partizione per la striscia con condizioni periodiche al contorno nel tempo immaginario (anello) è, (vedi Figura 2.3): z z* (b) Zαβ = Tr −T Hαβ − e = Tr e T 2R(L0− c 24) L0− ≡ Tr q c 24 = n h αβχh(q). (2.4) h 1 Equivalentemente la trasformazione conforme è nulla sull’ asse reale. C
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BIBLIOGRAFIA 112 [31] V. Korepin. U
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