entropia di entanglement in teorie invarianti conformi bidimensionali

CAPITOLO 2. TEORIE CONFORMI CON BORDO (BCFT) 26
x
t
β
T
α
2πR
Figura 2.3: La propagazione degli stati nel tempo t con l’Hamiltoniana Hαβ è detta
lungo il canale aperto (open channel).
Gli n h αβ ∈ N sono le molteplicità del carattere χh(q) corrispondente a stati che
si propagano nel bulk della striscia e sono compatibili con le condizioni al bordo
(α, β). Assumeremo di nuovo che il numero di campi primari h su cui si somma
sia finito (teoria conforme razionale).
Effettuando una trasformazione modulare si ottiene:
Zαβ(˜q) =
h,h ′
n h 2πR
αβShh ′χh ′(˜q); ˜q = e−4π( T ) , (2.5)
S è la matrice di trasformazione dei caratteri che assumeremo simmetrica e reale
per semplicità 2 . Consideriamo adesso la mappa della striscia nel piano C di ζ:
2πi
−
ζ = e T w . (2.6)
Nel piano di ζ, la (2.5) si reinterpreta (vedi Figura 2.4) come elemento di matrice
dell’ operatore di evoluzione e −2πRHP
della teoria con condizioni periodiche spaziali
(canale chiuso) tra opportuni stati di bordo, |α〉, |β〉 corrispondenti ai “tempi”x=0
2 Per esempio questo è verificato per tutti i modelli minimali unitari.