1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

4.3. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 98
∣
A∫
a
f(x, y)dx∣ < ε , ∀ y ∈ [c, d] (1)
3
Gọi y 0 là điểm tùy ý thuộc đoạn [c, d], chọn A > A 0 và xét hiệu:
∫+∞
∫+∞
I(y) − I(y 0 ) = f(x, y)dx − f(x, y 0 )dx
=
a
a
∫ A
[f(x, y) − f(x, y 0 )]dx +
∫
+∞
f(x, y)dx −
∫
+∞
f(x, y 0 )dx
a
Do f(x, y) liên tục trên [a, +∞) × [c, d] nên nó liên tục đều trong [a, A] × [c, d]. Vì
vậy tồn tại δ = δ(ε) > 0 sao cho với mọi y ∈ [c, d] thỏa mãn |y − y 0 | < δ thì:
ε
|f(x, y) − f(x, y 0 )| <
(2)
3(A − a)
Khi đó ta có (3):
A∫
A∫
ε
∣ [f(x, y) − f(x, y 0 )]dx∣ ≤ |f(x, y) − f(x, y 0 )|dx < (A − a).
3(A − a) = ε 3
a
a
Kết hợp (1)(2) và (3) với mọi y ∈ [c, d] thỏa mãn |y − y 0 | < δ, ta có:
A∫
+∞
∫
|I(y) − I(y 0 )| ≤ ∣ [f(x, y) − f(x, y 0 )]dx∣ + ∣ f(x, y)dx∣
+ ∣
+∞ ∫
A
a
f(x, y 0 )dx∣ ≤ ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε.
Như vậy ta chứng minh được rằng: với mọi ε > 0 tồn tại δ = δ(ε) sao cho với mọi
y ∈ [c, d] thỏa mãn |y − y 0 | < δ thì |I(y) − I(y 0 )| < ε. Tức là I(y) liên tục tại y 0 mà
y 0 bất kỳ, suy ra I(y) liên tục trên [c, d].
✷
Ví dụ 1: Ta sẽ chỉ ra rằng nếu tích phân I(y) =
Y thì có thể hàm I(y) không liên tục trên Y .
Dễ thấy tích phân I(y) =
+∞ ∫
0
A
+∞ ∫
a
A
A
f(x, y)dx không hội tụ đều trên
y
1 + x 2 y2dx không liên tục đều trên [0, 1] vì:
Tồn tại ε = 1 2 sao cho với mọi A 0 luôn tồn tại A = 1 + |A 0 | và y 0 = 1 A để:
+∞
∫ d(xy 0 )
∣ ∣∣ [
∣
= lim arctg(t.y0 ) − arctg(A.y
1 + (xy 0 ) 2 0 ) ] = π
t→+∞
2 − π 4 > ε.
A
Mặt khác ta tính được: