1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

2.1. Khái niệm về dãy hàm và sự hội tụ đều 22
|f n (x) − f(x)| = | sin π √ x 2 + n 2 − sin(π.n)|
∣
= ∣2 sin [ π( √ x 2 + n 2 − n) ] [π( √ x 2 + n 2 + n) ] ∣ . cos ∣
2
2
∣
≤ ∣2 sin [ πx 2
2( √ ] ∣ πx 2
∣ ≤ 2.
x 2 + n 2 + n) 2( √ x 2 + n 2 + n)
≤ πx2
n
< πx2
n 0
< πx2
(πx 2 )/ε = ε.
2. Dãy hàm f n (x) không hội tụ đều trên R vì tồn tại ε = 1 √ sao cho với mọi
2
n 0 ∈ N ∗ luôn tồn tại n = 2n 0 > n 0 và x = n 0 + 1 sao cho:
√
4 |f n (x) − f(x)| = ∣ sin π 4n 2 0 + n 0 + 1 ∣ = | sin(2n 0 π + π )| = 1 > ε.
4
2
2.1.2 Điều kiện hội tụ đều của dãy hàm
Định lý 2.1.3 (Tiêu chuẩn Cauchy)
Điều kiện cần và đủ để dãy hàm {f n (x)} hội tụ đều trên A ⊂ R là ε > 0 tồn tại
n 0 = n 0 (ε) ∈ N ∗ không phụ thuộc x sao cho ∀m, n > n 0 , ∀x ∈ A ta có:
|f n (x) − f m (x)| < ε.
A
Chứng minh: Điều kiện cần: Giả sử f n ⇒ f khi đó ∀ ε > 0, ∃n0 (ε) sao cho
∀ n > n 0 , ∀x ∈ A ta có |f n (x) − f(x)| < ε 2 nên với m, n > n 0 và với mọi x ∈ A ta
được:
|f n (x) − f m (x)| ≤ |f n (x) − f(x)| + |f m (x) − f(x)| < ε 2 + ε 2 = ε.
Điều kiện đủ: Giả sử với ε > 0 cho trước tồn tại n 0 = n 0 (ε) sao cho với mọi
n, m > n 0 và mọi x ∈ A ta có |f n (x) − f m (x)|. Khi đó dãy {f n (x)} là dãy Cauchy
nên tồn tại f(x) = lim
n→∞
f n (x).
Từ bất đẳng thức |f n (x) − f m (x)| < ε, cố định n và cho m → +∞ ta được:
|f n (x) − f(x)| < ε
với mọi n > n 0 và mọi x ∈ A, tức là dãy hàm f n (x) hội tụ đều trên A. ✷
Ví dụ: Dãy hàm f n (x) = arcsin(x) + arcsin(x2 )
+ · · · + arcsin(xn )
hội tụ đều
1.2 2.3
n(n + 1)
trên [−1, 1] vì theo tiêu chuẩn Cauchy: