1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

3.2. Tích phân suy rộng loại 2 78
Hàm f(t) = 2t2 . sin(t 2 ) + cos(t 2 )
t 2
+∞ ∫
1
f(t)dt =
Hàm g(t) =
+∞ ∫
1
t
t + 2
Áp dụng dấu hiệu Abel ta có
I =
+∞ ∫
1
có
+∞ ∫
2t 2 . sin(t 2 ) + cos(t 2 )
t 2 dt = lim
1
f(t)dt hội tụ vì:
)
∣
A→+∞ −cos(t2 t
∣ A 1
= cos 1.
đơn điệu tăng và bị chặn bởi 1 trên khoảng [1, +∞).
f(t).g(t)dt =
Vậy tích phân đã cho hội tụ.
+∞ ∫
1
2t 2 . sin(t 2 ) + cos(t 2 )
dt hội tụ.
t(t + 2)
3.2.2 Các dấu hiệu hội tụ của tích phân suy rộng loại 2
Định lý 3.2.4 (Tiêu chuẩn Cauchy)
Giả sử f(x) là hàm xác định trên khoảng [a, b), không bị chặn tại lân cận điểm b và
khả tích trong mọi đoạn hữu hạn [a, b − α] với 0 < α < b − a. Khi đó tích phân suy
rộng
∫ b
a
f(x)dx hội tụ khi và chỉ khi với mọi ε > 0 tồn tại δ = δ(ε) < b − a sao cho
với mọi α, α ′ thỏa mãn 0 < α, α ′ < δ, ta có:
b−α ∫
′
∣ f(x)dx∣ < ε.
b−α
Chứng minh: Theo định nghĩa tích phân suy rộng
∫ b
a
f(x)dx hội tụ khi và chỉ khi
b−α ∫
tồn giới hạn hữu hạn: lim
α→0 +F
(α) = lim f(x)dx. Mặt khác theo tiêu chuẩn
α→0 + a
Cauchy về giới hạn hàm số, giới hạn này tồn tại khi và chỉ khi với mọi ε > 0 tồn tại
δ = δ(ε) > 0 sao cho với mọi 0 < α, α ′ < δ ta có:
∣
∣F (α ′ ) − F (α) ∣ b−α ∫
′
b−α ∫
= ∣ f(x)dx − f(x)dx∣ = ∣
a
a
b−α ∫
′
b−α
f(x)dx∣ < ε.
Định lý 3.2.5
Giả sử f(x), g(x) là các hàm xác định trên khoảng [a, b), không bị chặn tại lân cận
điểm b và khả tích trong mọi đoạn hữu hạn [a, b − α] với 0 < α < b − a, đồng thời
0 ≤ f(x) ≤ g(x) với mọi x ∈ [a, b). Khi đó:
✷