1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

3.1. Tích phân suy rộng loại 1 64
Định nghĩa 3.1.3
Nếu hàm f(x) xác định trong khoảng (−∞, +∞), khả tích trong mọi đoạn hữu hạn
[A, A ′ ], (A < A ′ ) thì tích phân suy rộng của hàm f(x) trong khoảng (−∞, +∞)
được định nghĩa bằng công thức:
Như vậy
+∞ ∫
−∞
+∞ ∫
−∞
f(x)dx =
f(x)dx hội tụ ⇐⇒
Nhận xét:
+∞ ∫
Nếu f(x)dx hội tụ thì
−∞
+∞ ∫
−∞
∫ 0
−∞
∫ 0
−∞
f(x)dx =
f(x)dx +
f(x)dx và
∫ a
−∞
+∞ ∫
0
+∞ ∫
0
f(x)dx +
Ví dụ 1: Cho f(x) = 1 , x ∈ (−∞, +∞).
1 + x2 f(x)dx.
f(x)dx hội tụ.
+∞ ∫
• Dễ thấy f(x) khả tích trong mọi đoạn [0, A], (A ≥ 0) và
A∫ dx
F (A) =
1 + x = arctg x∣ ∣ A = arctg A.
2 0
Ta có:
0
+∞ ∫
0
dx
1 + x 2 = lim
A→+∞
A∫
0
dx
1 + x 2 = lim
A→+∞ arctg A = π 2 .
• Ta thấy f(x) khả tích trong mọi đoạn [B, 0], (B ≤ 0) và
F (B) =
Suy ra
∫ 0
B
∫ 0
−∞
dx
= − arctg B.
1 + x2 dx
1 + x 2 = lim
Từ hai kết quả trên ta có:
∫ 0
B→−∞
B
+∞ ∫
−∞
dx
1 + x 2 = lim
B→−∞ − arctg B = π 2 .
dx
1 + x = ∫0
2
Ví dụ 2: Cho f(x) = sin x, khi đó:
+∞ ∫
0
f(x)dx =
lim
A→+∞
A∫
0
−∞
a
f(x)dx với mọi a ∈ R .
dx
+∞
1 + x + ∫ dx
2 1 + x = π 2 2 + π 2 = π.
sin xdx =
+∞
Do lim (− cos A) không tồn tại nên ∫
sin xdx phân kỳ.
A→+∞
Ví dụ 3: Cho f(x) = ln x, khi đó:
0
0
lim (1 − cos A).
A→+∞