1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

2.4. Chuỗi lũy thừa 49
arctg x =
∫ x
0
dt
1 + t = ∑+∞ (−1) n
2
n=0
∫x
0
t 2n dt =
+∞∑
n=0
(−1) n x2n+1
2n + 1 .
5. Khai triển hàm (1 + x) α thành chuỗi lũy thừa.
Xét chuỗi: 1 + αx +
α(α − 1)
x 2 + . . . +
2!
α(α − 1) . . . (α − n + 1)
x n + . . .
n!
Bán kính hội tụ của chuỗi trên là 1 vì:
lim ∣ a ∣ ∣ n+1 ∣∣ ∣∣∣ α(α − 1) + . . . + (α − n)
n!
= lim
.
n→∞ a n n→∞ (n + 1)! α(α − 1) + . . . + (α − n + 1) ∣
= lim ∣ α − n
∣ = 1.
n→+∞ n + 1
Gọi S(x) là tổng của chuỗi trên, ta có :
S ′ α(α − 1) . . . (α − n)
(x) = α + α(α − 1)x + . . . + x n + . . .
n!
Suy ra xS ′ (x) = αx + α(α − 1)x 2 α(α − 1) . . . (α − n)
+ . . . + x n+1 + . . .
n!
Cộng 2 vế của đẳng thức trên với S ′ (x) rồi nhóm lại ta có (1+x)S ′ (x) = α.S(x).
Giải phương trình vi phân trên với S(0) = 1, ta được nghiệm S(x) = (x + 1) α .
Vậy (x+1) α = 1+αx+
α(α − 1)
x 2 +. . .+
2!
α(α − 1) . . . (α − n + 1)
x n +. . .
n!
Ví dụ 1: Khai triển hàm f(x) = 1 thành chuỗi lũy thừa của x − 1.
x + 2
1
Ta có
x + 2 = 1
3 + (x − 1) = 1 3 . 1
1 + x − 1
3
1
Áp dụng khai triển
1 + t = +∞ ∑
(−1) n t n cho t = x − 1 với |t| < 1 ta có:
n=0
3
1
x + 2 = 1 +∞∑
( x − 1
) n +∞∑
(−1) n = (−1) n(x − 1)n
với −2 < x < 4.
3
3
3 n+1
n=0
Ví dụ 2: Khai triển g(x) = ln 3 √
1 + 2x
1 − x
Ta có
n=0
ln (1 + 2x) = +∞ ∑
(−1) n−12n x n
n , |x| < 1 2
n=1
thành chuỗi lũy thừa của x.