1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

3.2. Tích phân suy rộng loại 2 77
2. Đối với tích phân suy rộng loại 2:
∫ b
a
f(x)dx = lim
bằng cách đổi biến t = 1
b − x , tức là x = b − 1 t
suy rộng loại 2 đưa về tích phân suy rộng loại 1:
∫ b
a
f(x)dx =
∫
+∞
1
b−a
f ( b − 1 t
∫
α→0 + b−α
a
f(x)dx
dt
và dx = khi đó tích phân
t2 )dt
t 2 .
Do vậy các kết quả được chứng minh đối tích phân suy rộng loại 1 có thể
suy ra cho tích phân suy rộng loại 2.
Ví dụ 1: Tính tích phân suy rộng loại 2:
Ta có
∫ 1
0
dx
√
1 − x
2 = lim
∫
α→0 + 1−α
Ví dụ 2: Khảo sát sự hội tụ của tích phân
1. Với t ≠ 1 ta có:
∫ b
a
0
dx
(b − x) t = lim
∫ 1
0
dx
√
1 − x
2 .
dx
√ = lim arcsin(1 − α) = π 1 − x
2 α→0 + 2 .
b−α ∫
α→0 +
a
∫ b
a
dx
(b − x) t, (t > 0).
dx
(b − x) = −1
t 1 − t lim − (b − a) 1−t ]
α→0 +[α1−t
• Nếu t > 1 thì lim
α→0 +α1−t = +∞ do đó tích phân đã cho phân kỳ.
• Nếu t < 1 thì lim
α→0 +α1−t = 0 do đó tích phân đã cho hội tụ.
2. Với t = 1 tích phân đã cho phân kỳ vì:
∫ b
a
b−α ∫
α→0 +
dx
(b − x) = lim
a
dx
(b − x) = − lim
α→0
+(ln
|α| − ln |b − a|) = +∞.
Ví dụ 3: Khảo sát sự hội tụ của I =
∫ 1
0
2 sin( 1 x
) + x 2 cos( 1 2 x
) 2 dx.
x 2 (2x + 1)
Đổi biến x = 1 , dx = −dt
t t và khi x → 2 0+ thì t → +∞. Ta được:
I = −
∫ 1
+∞
2 sin(t 2 ) + 1 t 2. cos(t2 )
1
t 2.(1 + 2 . dt +∞
t ) t = ∫
2 1
2t 2 . sin(t 2 ) + cos(t 2 )
dt.
t(t + 2)