1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

4.2. Tích phân phụ thuộc tham số với cận thay đổi 90
φ(y) =
{ 1 nếu y hữu tỷ,
0 nếu y vô tỷ.
Dễ thấy f(x, y) = 2xφ(y) là hàm không liên tục tại bất kỳ điểm nào và ta cũng có:
∫ 1
0
2xφ(y)dx = φ(y) cũng là hàm không liên tục tại mọi điểm, hơn nữa nó còn không
khả tích trên bất kỳ khoảng nào của R .
Định lý 4.2.4 (Tính khả vi)
Giả thiết:
1. Hàm f(x, y) xác định trong [a, b] × [c, d], liên tục theo x với mỗi y cố định trong
[c, d].
2. Hàm f(x, y) có đạo hàm riêng ∂f (x, y) liên tục trong [a, b] × [c, d].
∂y
3. Các hàm α(y) và β(y) khả vi trong đoạn [c, d].
Khi đó tích phân I(y) =
thức:
I ′ (y) =
∫β(y)
α(y)
β(y)
∫
α(y)
f(x, y)dx là một hàm khả vi trên [c, d] và ta có công
∂f(x, y)
dx + β ′ (y)f ( β(y), y ) − α ′ (y)f ( α(y), y ) , ∀ y ∈ [c, d]
∂y
Chứng minh: Xét y 0 bất kỳ thuộc [c, d], ta sẽ chứng minh I(y) khả vi tại y 0 . Đặt:
I 1 (y) =
β(y
∫ 0 )
α(y 0 )
f(x, y)dx, I 2 (y) =
β(y)
∫
β(y 0 )
f(x, y)dx, I 3 (y) =
α(y)
∫
α(y 0 )
f(x, y)dx.
Ta có I = I 1 + I 2 − I 3 và I 2 , I 3 tương tự nhau nên ta chỉ cần chứng minh I 1 , I 2 khả
vi tại y 0 .
Vì I 1 là tích phân phụ thuộc tham số với cận cố định nên I 1 khả vi tại y 0 và ta có
Đối với I 2 ta có:
I ′ 1(y 0 ) =
I 2 (y) − I 2 (y 0 )
= 1 [ β(y) ∫
y − y 0 y − y 0
β(y 0 )
β(y
∫ 0 )
α(y 0 )
∂f(x, y)
dx.
∂y
f(x, y)dx−
β(y
∫ 0 )
β(y 0 )
f(x, y)dx ] = 1
y − y 0
β(y)
∫
β(y 0 )
f(x, y)dx.