1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

3.1. Tích phân suy rộng loại 1 65
Vậy tích phân
+∞ ∫
1
F (A) =
+∞ ∫
1
A∫
1
f(x)dx =
ln xdx phân kỳ.
∣
ln xdx = x(ln x − 1)
∣ A 1
= A(ln A − 1) + 1,
lim F (A) = lim [A(ln A − 1) + 1] = +∞.
A→+∞ A→+∞
Định lý 3.1.4 (Tiêu chuẩn Cauchy)
Giả sử hàm f(x) xác định trong khoảng [a, +∞) và khả tích trong mọi đoạn hữu
+∞ ∫
hạn [a, A], (A ≥ a). Khi đó tích phân f(x)dx hội tụ khi và chỉ khi với mọi ε > 0
tồn tại số A 0 = A 0 (ε) sao cho với mọi A ′ , A ′′ > A 0 , ta có:
Chứng minh: Đặt F (A) =
tồn tại giới hạn hữu hạn
A∫
a
lim
A→+∞
a
f(x)dx như vậy
+∞ ∫
0
∣
A ∫
′′
A ′
f(x)dx∣ < ε.
f(x)dx hội tụ khi và chỉ khi
F (A), theo định lý Cauchy về giới hạn hàm số thì
lim F (A) tồn tại hữu hạn khi và chỉ khi với mọi ε > 0 tồn tại A 0 = A 0 (ε) sao cho
A→+∞
với mọi A ′ , A ′′ > A 0 , ta có:
∣
∣F (A ′ ) − F (A ′′ ) ∣ < ε
tức là
∫A ′
∣ f(x)dx −
a
A ∫
′′
a
f(x)dx∣ = ∣
A ∫
′′
A ′
f(x)dx∣ < ε.
Định lý 3.1.5
Giả sử f(x) là hàm số xác định trong khoảng [a, +∞) và khả tích trong mọi đoạn
+∞ ∫
hữu hạn [a, A], (A ≥ a). Khi đó tích phân f(x)dx hội tụ khi và chỉ khi với mọi
b ≥ a,
+∞ ∫
Định lý 3.1.6
Giả sử tích phân
b
tích phân
f(x)dx hội tụ.
+∞ ∫
a
+∞ ∫
a
f(x)dx và
+∞ ∫
a
a
g(x)dx hội tụ, α, β là các hằng số thực. Khi đó
(
αf(x) + βg(x)
)
dx cũng hội tụ và ta có đẳng thức:
✷