1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

2.5. Chuỗi Fourier 52
được gọi là chuỗi Fourier của hàm f(x) và ký hiệu là:
f ∼ a 0
2 + +∞ ∑
(a n cos nx + b n sin nx)
n=1
Nếu chuỗi này hội tụ đến f(x) trên (−π, π) thì ta nói rằng hàm f(x) có thể khai triển
thành chuỗi Fourier trên đoạn [−π, π].
2.5.2 Khai triển hàm thành chuỗi Fourier
Định nghĩa 2.5.4
Hàm f(x) xác định trên [a, b] được gọi là khả vi từng khúc trên [a, b] nếu ta có thể
chia đoạn [a, b] bởi các điểm chia:
a = x 0 < x 1 < x 2 . . . . . . < x n = b
sao cho f(x) khả vi trên (x i , x i+1 ), ∀ i = 0, n − 1 và tồn tại giới hạn hai phía của
f tại các điểm x i .
Định lý 2.5.5
Nếu hàm f(x) tuần hàm với chu kỳ 2π, khả vi từng khúc trên [−π, π] thì chuỗi Fourier
tương ứng của f hội tụ tại mọi điểm x = x 0 và có tổng:
S(x 0 ) = f(x 0 + 0) + f(x 0 − 0)
.
2
Đặc biệt, nếu f(x) liên tục tại x 0 thì S(x 0 ) = f(x 0 ).
Ta thừa nhận mà không chứng minh định lý trên.
Như vây theo định lý trên thì mọi hàm sơ cấp f xác định trên [−π, π] đều khai
triển được thành chuỗi Fourier, gọi f ∗ chuỗi Fourier của f, khi đó f ∗ (x) =
f(x), ∀ x ∈ (−π, π) và f ∗ (x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π trên R . Ta gọi
f ∗ (x) là thác triển tuần hoàn của f(x) từ khoảng [−π, π] lên R . Tuy nhiên ta thấy
rằng f ∗ f(−π) + f(π)
(π) = do vậy f ∗ (x) ≡ f(x) trên đoạn [−π, π] khi và chỉ khi
2
f(−π) = f(π).
Ví dụ 1: Khai triển hàm f(x) = π − x thành chuỗi Fourier trên đoạn [−π, π].
2
Ta có:
a 0 = 1 π∫ π − x
dx = 1 ∣
x2 ∣∣
(πx −
π 2 2π 2 ) π
= π,
−π
a n = 1 π
−π
π∫
−π
π − x
2
cos nxdx =
(π − x)
2π
sin nx
n
∣ π + 1
−π 2π
π∫
−π
sin nx
dx = 0,
n