1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

1.1. Các khái niệm và tính chất cơ bản của chuỗi số 2
• Nếu |q| < 1 thì lim
n→+∞ A n = 1
1 − q , do vậy +∞ ∑
k=0
q k = 1
1 − q .
• Nếu |q| > 1 thì lim
n→+∞ A n = +∞ chuỗi đã cho phân kỳ.
2. Với q = 1 ta có A n = n + 1 do đó: lim
n→+∞ A n = +∞ chuỗi đã cho phân kỳ.
3. Với q = −1 chuỗi đã cho phân kỳ vì không tồn tại giới hạn của dãy:
{ 1 nếu n = 2k,
A n =
0 nếu n = 2k + 1
Như vậy chuỗi số +∞ ∑
q k hội tụ khi và chỉ khi |q| < 1. Đây là kết quả rất quan trọng
k=0
được sử dụng nhiều trong chứng minh các định lý khác và được áp dụng khi làm bài
tập.
1.1.2 Các tính chất cơ bản của chuỗi số
Định lý 1.1.2
Nếu chuỗi +∞ ∑
k=1
a k hội tụ thì lim
k→+∞ a k = 0.
∑
Chứng minh: Đặt A n = n a k và do chuỗi hội tụ nên lim A n = A.
k=1
n→+∞
Khi đó lim a n = lim (A n − A n−1 ) = lim A n − lim A n−1 = 0. ✷
n→+∞ n→+∞ n→+∞ n→+∞
Chú ý: Đây chỉ là điều kiện cần nhưng không phải là điều kiện đủ.
Ví dụ: Chuỗi +∞ ∑ 1
1
√ có lim √ = 0, tuy nhiên dãy tổng riêng:
n=1 n n→+∞ n
A n = 1 + √ 1 + √ 1 + · · · + 1 1
√ > n. √ = √ n → +∞ (n → +∞), tức là chuỗi
2 3 n n
đã cho phân kỳ.
Định lý 1.1.3
Giả sử các chuỗi +∞ ∑
k=1
số thực, khi đó chuỗi +∞ ∑
a k và +∞ ∑
b k hội tụ có tổng lần lượt là A và B, α, β là các hằng
n=1
k=1
Chứng minh: Coi như bài tập.
(αa n + βb n ) cũng hội tụ và có tổng là αA + βB.
✷