1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

3.2. Tích phân suy rộng loại 2 79
1. Nếu tích phân
2. Nếu tích phân
∫ b
a
∫ b
a
g(x)dx hội tụ thì tích phân
f(x)dx phân kỳ thì tích phân
∫ b
a
f(x)dx hội tụ.
∫ b
a
g(x)dx cũng phân kỳ.
Định lý 3.2.6
Giả sử f(x), g(x) là hàm xác định, không âm trên khoảng [a, b), không bị chặn tại
lân cận điểm b và khả tích trong mọi đoạn hữu hạn [a, b − α] với 0 < α < b − a. Khi
đó nếu tồn tại giới hạn:
thì các tích phân
∫ b
a
f(x)
lim
x→b − g(x)
f(x)dx và
∫ b
a
= k, (0 < k < +∞)
g(x)dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
Hệ quả 3.2.7
Giả sủ hàm f(x) xác định trong khoảng [a, b) và trong lân cận của điểm b hàm f(x)
có dạng f(x) =
ϕ(x)
(b − x) t. Khi đó:
1. Nếu 0 < t < 1 và 0 ≤ ϕ(x) ≤ M trong đó M là hằng số dương thì tích phân
∫ b
a
f(x)dx hội tụ.
2. Nếu t > 1 và ϕ(x) ≥ m > 0 thì tích phân
∫ b
a
f(x)dx phân kỳ.
Định lý 3.2.8
Giả sử hàm f(x) xác định trong khoảng [a, b), không bị chặn tại lân cận điểm b, khả
tích trong mọi đoạn con [a, b − α], (0 < α ≤ b − a) của khoảng [a, b). Khi đó nếu
tích phân
phân
∫ b
a
∫ b
a
|f(x)|dx hội tụ thì tích phân
f(x)dx hội tụ tuyệt đối.
Ví dụ 1: Khảo sát sự hội tụ của tích phân
∫ b
a
∫ 1
0
f(x)dx cũng hội tụ và ta nói rằng tích
dx
4√
1 − x
4 .
1 − x 4
lim
x→1 − 1 − x = lim
x→1 −(1 + (1 − x 4 ) − 1 4
x2 )(1 + x) = 4 nên lim
x→1 − (1 − x) − 1 4
= 4 − 1 4.