1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

2.5. Chuỗi Fourier 59
II.20.
Chứng minh rằng nếu chuỗi +∞ ∑
|u n (x)| hội tụ đều trên đoạn [a, b] thì chuỗi
n=1
hàm +∞ ∑
u n (x) cũng hội tụ đều trên đoạn đó.
II.21.
n=1
trên [0, +∞).
Giả sử chuỗi +∞ ∑
a n hội tụ, chứng minh rằng chuỗi hàm +∞ ∑
a n e −nx hội tụ đều
n=1
II.22. Cho u n (x) là các hàm đơn điệu trên đoạn [a, b]. Chứng minh rằng nếu chuỗi
hàm +∞ ∑
u n (x) hội tụ tuyệt đối tại a và b thì chuỗi hàm này hội tụ tuyệt đối và đều
n=1
trên đoạn [a, b].
Bài tập về tính liên tục, khả tích, khả vi của chuỗi hàm
II.23. Xác định miền hội tụ và nghiên cứu tính liên tục của hàm
f(x) = +∞ ∑ x
n=0 (1 + x 2 ) 2.
II.24. Giả sử a n → +∞ khi n → +∞ sao cho chuỗi +∞ ∑ 1
hội tụ. Chứng minh
n=1 |a n |
rằng hàm f(x) = +∞ ∑ 1
xác định và liên tục với mọi x ≠ a n .
x − a n
II.25.
II.26.
II.27.
n=1
Xét tính liên tục và khả vi của tổng chuỗi hàm +∞ ∑
n=1
n=1
x
n(1 + nx 2 ) .
Xác định miền tồn tại và nghiên cứu tính khả vi của hàm số
f(x) = +∞ ∑ (−1) n x
n + x .
n=1
Chứng minh rằng f n (x) = 1 n arctg(xn ) hội tụ đều trên R nhưng:
[ ] ′
lim f n(x) ≠ lim f n(1).
′
n→+∞ x=1 n→+∞
II.28. Chứng minh rằng dãy hàm f n (x) = x 2 + 1 n sin n( x + π )
hội tụ đều trên R
2
nhưng: [ ] ′
lim f n(x) ≠ lim f n(x).
′
n→+∞ n→+∞
II.29. Với những giá trị nào của tham số α thì:
a. Dãy hàm f n (x) = n α xe −nx hội tụ trên đoạn [0, 1].
b. Dãy hàm f n (x) hội tụ đều trên đoạn [0, 1].
∫ 1 ∫ 1 [
c. Đẳng thức lim f n (x)dx = lim f n(x) ] dx thỏa mãn.
n→+∞
0
0
n→+∞