1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

2.5. Chuỗi Fourier 60
II.30. Chứng minh rằng dãy hàm f n (x) = nxe −nx2 hội tụ đều trên đoạn [0, 1]
nhưng:
∫ 1 ∫ 1 [
lim f n (x)dx ≠ lim f n(x) ] dx.
n→+∞
0
0
n→+∞
II.31. Chứng minh rằng f n (x) = nx(1 − x) n hội tụ không đều trên đoạn [0, 1], tuy
nhiên:
∫ 1 ∫ 1 [
lim f n (x)dx = lim f n(x) ] dx.
n→+∞
n→+∞
0
0
II.32. Xác định bán kính hội tụ và khảo sát tính hội tụ tại các đầu mút của khoảng
hội tụ đối với chuỗi lũy thừa sau đây:
a.
c.
e.
g.
i.
k.
n.
p.
+∞∑
n=1
+∞∑
n=1
+∞∑
n=1
+∞∑
n=1
+∞∑
n=1
+∞∑
n=1
+∞∑
n=1
+∞∑
n=1
2 n−1 x n−1
(2n − 1) 2 . √ b.
3 n−1 ∣
∣ ∣∣∣
(−1) n 2 n .(n!) 2
p
(2n + 1)! ∣ x n d.
2 n−1 x 2n−1
(4n − 3) 2 f.
|3 + (−1) n | n
x n h.
n
x n
a n + b n (a, b > 0) j.
x nn
n n m.
n!x n! o.
(−1) n
n!
. ( n) n.x n
e
+∞∑
n=1
+∞∑
n=1
+∞∑
n=1
+∞∑
n=1
+∞∑
n=1
+∞∑
n=1
+∞∑
n=1
2 n .n!
(2n)! x2n
n!
nn(x − 2)n
(
1 + 1 2 + . . . + 1 n
x n2
2 n
x n2
2 n−1 n n
(
1 + 1 n
(
tg
1
n
)
.x
n
) n
2
)
x n
(x − 1) n