1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

2.5. Chuỗi Fourier 55
Như vậy ∀ x ∈ [0, π] ta có f(x) = f ∗ (x) ∼ +∞ ∑
b n sin nx
trong đó
b n = 2 π
π∫
0
f(x) sin nxdx.
Chuỗi Fourier trên được gọi là khai triển lẻ của hàm f(x) trong đoạn [0, π].
Ví dụ: Khai triển lẻ hàm f(x) = x 2 (x + 1) thành chuỗi Fourier trên đoạn [0, π].
Ta có:
b n = 2 π
π∫
(x 3 + x 2 ) sin nxdx
0
= − 2 π (x3 + x 2 )
cos nx
n
= 2.(−1)n+1 π(π + 1)
n
= 2.(−1)n+1 π(π + 1)
n
= 2.(−1)n+1 π(π + 1)
n
Vậy ta có khai triển:
∞∑ [ 2.(−1)
x 2 n+1 π(π + 1)
(x + 1) =
n
n=1
n=1
∣ π + 2 π∫
(3x 2 + 2x) cos nxdx
0 nπ 0
+ 2 sin nx
nπ (3x2 + 2x) ∣ π
n
− 4 π∫
(3x + 1) sin nxdx
0 πn 2 0
+ 4
nx
πn2(3x + 1)cos ∣ π
n
− 12 π∫
cos nxdx
0 πn 3
+
4(3π + 1)(−1)n
πn 3 − 4
πn 3.
+ 4.(3π + 1)(−1)n − 4
]
sin nx.
πn 3
0
2.5.4 Khai triển Fourier trong đoạn [−l, l]
Cho hàm f(x) khả vi từng khúc trên đoạn [−l, l], đặt x = l.y
π
hàm g(y) = f( l.y ) xác định, khả vi từng khúc trên [−π, π].
π
Ta có khai triển Fourier của hàm g(y) là:
suy ra y =
π.x
l
g(y) ∼ a 0
2 + +∞ ∑
(a n cos ny + b n sin ny), ∀ y ∈ [−π, π] trong đó:
n=1
a 0 = 1 π
π∫
−π
g(y)dy = 1 l
∫ l
−l
f(x)dx,
khi đó