1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

2.3. Chuỗi hàm 38
∑
Chứng minh: Đặt S n (x) = n u k (x), dễ thấy S n (x) cũng là hàm khả tích trên [a, b].
k=1
Do +∞ ∑
u n (x) hội tụ đều đến S(x) nên dãy hàm {S n (x)}
n=1
Theo định lý 2.2.2 suy ra S(x) là hàm khả tích và
∫ b
Định lý 2.3.11
Giả sử rằng chuỗi hàm +∞ ∑
a
S(x)dx = lim
n=1
∫
n→∞
b
a
S n (x) = +∞ ∑
∫ b
n=1 a
u n (x)dx.
u n (x) xác định trên (a, b) thỏa mãn:
hội tụ đều đến hàm S(x).
1. Chuỗi hàm +∞ ∑
u n (x) hội tụ tại một điểm x 0 nào đó thuộc khoảng (a, b).
n=1
2. u n (x) là hàm khả vi trên (a, b), ∀ n ∈ N ∗ .
3. Chuỗi đạo hàm +∞ ∑
u ′ n(x) hội tụ đều trên (a, b) và có tổng là g(x).
Khi đó:
n=1
1. Chuỗi +∞ ∑
u n (x) hội tụ đều trên (a, b) đến hàm S(x).
n=1
2. S(x) là hàm khả vi trên (a, b) và S ′ (x) = g(x).
∑
Chứng minh: Đặt S n (x) = n u k (x) suy ra S n (x) là hàm khả vi trên (a, b) và dãy
k=1
hàm {S n (x)} cũng hội tụ tại x 0 . Do chuỗi hàm +∞ ∑
u ′ n(x) hội tụ đều trên (a, b) và có
tổng là g(x) nên dãy hàm {S ′ n(x)} cũng hội tụ đều trên (a, b) và có giới hạn là hàm
g(x). Theo định lý 2.3.11 suy ra dãy hàm {S n (x)} hội tụ đều trên (a, b) đến hàm
S(x), tức là chuỗi hàm +∞ ∑
u n (x) hội tụ đều trên (a, b) đến hàm S(x), đồng thời S(x)
n=1
là hàm khả vi và S ′ (x) = g(x).
n=1
✷
✷