1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

4.3. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 94
hội tụ đều trên Y là với mọi ε > 0 tồn tại A 0 = A 0 (ε)(không phụ thuộc y) sao cho
với mọi A, A ′ > A 0 ta có:
∫
∣ A′
f(x, y)dx ∣ < ε, với mọi y ∈ Y .
A
Chứng minh: Điều kiện đủ: Theo giả thiết với mọi ε > 0 tồn tại A 0 = A 0 (ε)(không
phụ thuộc y) sao cho với mọi A, A ′ > A 0 ta có:
∫
∣ A′
f(x, y)dx ∣ < ε, với mọi y ∈ Y .
A
Cho A ′ → +∞ và do I(y) hội tụ nên ta có bất đẳng thức:
∣
∫
∣ +∞
Vậy tích phân I(y) hội tụ đều trên Y .
A
f(x, y)dx ∣ ∣ < ε, với mọi y ∈ Y
Điều kiện cần: Theo giả thiết với mọi ε > 0 tồn tại A 0 = A 0 (ε)(không phụ thuộc y)
sao cho với mọi A > A 0 ta có:
∣ +∞ ∫
f(x, y)dx ∣ < ε , với mọi y ∈ Y .
2
A
Khi đó với mọi A ′ > A 0 , ta cũng có:
∣ +∞ ∫
f(x, y)dx ∣ < ε , với mọi y ∈ Y .
A 2 ′
Do vậy với mọi A, A ′ > A 0 và mọi y ∈ Y :
∣ ∫
∣ A′
A
f(x, y)dx ∣ = ∣ +∞ ∫
Vậy với mọi ε > 0 tồn tại A 0
A, A ′ > A 0 ta có:
A
f(x, y)dx −
+∞ ∫
A ′
≤ ∣ +∞ ∫
f(x, y)dx ∣ + ∣ +∞ ∫
A
A
f(x, y)dx ∣ ∣
A ′ f(x, y)dx ∣ ∣ < ε 2 + ε 2 = ε.
= A 0 (ε)(không phụ thuộc y) sao cho với mọi
∫
∣ A′
f(x, y)dx ∣ < ε, với mọi y ∈ Y .
Định lý 4.3.4 (Tiêu chuẩn Weierstrass)
Giả sử tồn tại hàm ϕ(x) không âm trong khoảng [a, +∞) sao cho:
|f(x, y)| ≤ ϕ(x),
∀ y ∈ Y, ∀ x ∈ [a, +∞).
✷