1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

3.1. Tích phân suy rộng loại 1 71
∫A ′
A
f(x)g(x)dx =
∫A ′
A
∣
g(x)dF (x) = F (x)g(x)
∣ A′
= F (A ′ )g(A ′ ) − F (A)g(A) −
∫
A − A ′
Theo giả thiết g(x) đơn điệu do đó g ′ (x) không đổi dấu.
∫A ′
A
A
F (x)g ′ (x)dx
F (x)g ′ (x)dx.
Áp dụng định lý trung bình thứ 2 đối với tích phân xác định ta có:
∫A ′
∫
F (x)g ′ A ′
(x)dx = F (ξ) g ′ (x)dx = F (ξ) [ g(A ′ ) − g(A) ] , (A ≤ ξ ≤ A ′ )
A
A
A
∫A ′
Từ đó f(x)g(x)dx = F (A ′ )g(A ′ ) − F (A)g(A) − F (ξ)g(A ′ ) + F (ξ)g(A)
= g(A ′ ) [ F (A ′ ) − F (ξ) ] + g(A) [ F (ξ) − F (A) ] . (1)
Theo giả thiết ta có ∣ ∣F (A ′ ) − F (A) ∣ ∣ < 2M và ∣ ∣F (ξ) − F (A) ∣ ∣ < 2M.
Hơn nữa do lim g(x) = 0 nên với mọi ε > 0, ∃ A 0 > a sao cho ∀ x > A 0 thì
x→+∞
∣
∣g(x) ∣ <
ε
4M .
Khi đó với mọi A ′ > A > A 0 và từ (1) ta có:
∫A ′
∣ f(x)g(x)dx∣ ≤ ∣ ∣g(A ′ ) ∣ ∣. ∣ ∣F (A ′ ) − F (ξ) ∣ + ∣ ∣g(A) ∣ ∣. ∣ ∣F (ξ) − F (A) ∣ A
< ε
4M .2M +
ε .2M = ε.
4M
Như vậy với mọi ε > 0 tồn tại A 0 = A 0 (ε) với mọi A ′ , A > A 0 ta có:
∫A ′
∣ f(x)g(x)dx∣ < ε.
Theo tiêu chuẩn Cauchy tích phân
Ví dụ 1: Xét sự hội tụ của tích phân
Dễ thấy tích phân trên có dạng
A
+∞ ∫
+∞ ∫
a
f(x)g(x)dx hội tụ.
+∞ ∫
Khi đó hàm f(x) = sin x có ∣ ∣F (A) ∣ ∣ = ∣ ∣ A ∫
hàm f(x) có nguyên hàm bị chặn.
a
a
sin x
dx, (a > 0).
x
f(x)g(x)dx với f(x) = sin x và g(x) = 1 x .
a
sin xdx ∣ ∣ = ∣ ∣ cos a − cos A ∣ ∣ ≤ 2 tức là
Còn hàm g(x) = 1 x có g′ (x) = − 1 liên tục trên khoảng (a, +∞), đồng thời g(x)
x2 ✷