1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

2.5. Chuỗi Fourier 50
ln (1 − x) = − +∞ ∑
n=1
x n
, |x| < 1.
n
Vậy với mọi |x| < 1 , ta có:
2
√
1 + 2x
ln 3 1 − x = 1 [ ] 1 +∞∑ [
ln (1 + 2x) − ln (1 − x) = (−1) n−1 2 n + 1 ] x n
3
3 n=1
n
Ví dụ 3: Khai triển hàm f(x) = e x sin x thành chuỗi lũy thừa tại 0.
Ta có: f ′ (x) = e x (sin x + cos x) = √ 2 sin ( x + π 4
)
,
f ′′ (x) = (√ 2 ) 2
e x sin ( x + π 4 + π 4
)
.
Bằng quy nạp ta chứng minh được: f (n) (x) = (√ 2 ) n
e x sin ( x + n. π 4
)
, ∀ n ∈ N .
Mặt khác, ta đã biết hàm e x và hàm sin x khai triển được thành chuỗi lũy thừa với
miền hội tụ là R nên hàm f(x) = e x sin x cũng khai triển được thành chuỗi lũy thừa
trên R , tức là tại x 0 = 0 ta có:
f(x) =
+∞∑
n=0
a n x n .
(√ ) n ( π)
Theo định lý 2.4.12 suy ra a n = f (n) (0) 2 sin n.
=
4 .
n!
n!
Vậy ta có:
(√ ) n ( π)
+∞∑ 2 sin n.
f(x) = e x sin x =
4 .x n , −∞ < x < +∞.
n!
n=0
2.5 Chuỗi Fourier
2.5.1 Khái niệm và tính chất cơ bản của chuỗi Fourier
Định nghĩa 2.5.1
Chuỗi hàm có dạng a 0
2 + +∞ ∑
(a n cos nx + b n sin nx), trong đó a 0 , a n , b n là những số
n=1
thực được gọi là chuỗi lượng giác.
Định lý 2.5.2
Giả sử chuỗi hàm lượng giác a 0
2 + +∞ ∑
(a n cos nx + b n sin nx) hội tụ đều đến hàm
n=1