1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

4.2. Tích phân phụ thuộc tham số với cận thay đổi 91
Vì f(x, y) liên tục trên đoạn [β(y 0 ), β(y)] nên áp dụng định lý trung bình của tích
phân xác định ta có:
β(y)
∫
β(y 0 )
f(x, y)dx = f(x ∗ , y)[β(y) − β(y 0 )]
trong đó x ∗ là điểm nằm giữa β(y 0 ) và β(y). Do đó:
I 2 (y) − I 2 (y 0 )
y − y 0
= f(x ∗ , y) β(y) − β(y 0)
y − y 0
Khi y → y 0 thì β(y) → β(y 0 ) mà x ∗ nằm giữa β(y 0 ) và β(y) nên x ∗ cũng tiến tới
β(y 0 ), vậy nên:
I 2 (y) − I 2 (y 0 )
lim
y→y 0 y − y 0
= lim
y→y0
f(x ∗ , y). lim
y→y0
β(y) − β(y 0 )
y − y 0
= f ( β(y 0 ), y 0
)
.β ′ (y 0 ).
Tức là I 2 khả vi tại y 0 và I ′ 2(y 0 ) = f ( β(y 0 ), y 0
)
.β ′ (y 0 )
Tương tự thì I 3 cũng khả vi tại y 0 và I ′ 3(y 0 ) = f ( α(y 0 ), y 0
)
.α ′ (y 0 ).
Vậy I(y) = I 1 (y) + I 2 (y) − I 3 (y) khả vi tại y 0 và ta có:
I ′ (y) =
∫β(y)
α(y)
∂f(x, y)
dx + β ′ (y)f ( β(y), y ) − α ′ (y)f ( α(y), y ) ,
∂y
Ví dụ: Xét tính khả vi của hàm số I(y) =
Dễ thấy rằng:
e∫
2y
y 2
cos(xy)
dx trên (0, +∞).
x
α(y) = y 2 , β(y) = e 2y là các hàm khả vi trên (0, +∞) và
∀ y ∈ [c, d].
f(x, y) = cos(xy) là hàm liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trên R + × R + .
x
Do vậy I(y) khả vi trên R + và ta có công thức:
I ′ (y) =
β(y)
∫
α(y)
e∫
2y
∂f(x, y)
dx + β ′ (y)f ( β(y), y ) − α ′ (y)f ( α(y), y )
∂y
= − sin(xy)dx + 2e 2y cos(ye2y )
− 2y cos(y3 )
y
e 2y y 2
2
= cos(xy)
∣ x=e2y
y
+ 2 x=y cos(ye2y ) − 2 cos(y3 )
2 y
✷