1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

4.3. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 100
Mặt khác I(y) là hàm liên tục trên [c, d] nên nó khả tích trên đoạn đó và với A > A 0
ta có:
∫ d ∫ d A∫
∫ d +∞ ∫
I(y)dy = dy f(x, y)dx + dy f(x, y)dx.
Từ đó:
c
∫ d
c
I(y)dy −
c
∫ d
c
dy
a
A∫
a
f(x, y)dx =
c
∫ d
c
dy
A
+∞ ∫
A
f(x, y)dx.
Vì
∫ d A∫
A∫ ∫ d
dy f(x, y)dx = dx f(x, y)dy nên ta có đẳng thức:
c a
a c
∫ d
A∫ ∫ d
∫ d +∞ ∫
I(y)dy − dx f(x, y)dy = dy f(x, y)dx.
c
a c
c A
Vì A > A 0 nên ta có:
∫ d +∞ ∫
∫ d
∣ dy f(x, y)dx∣ ≤ ∣ +∞ ∫
f(x, y)dx ∣ ε
∣dy < (d − c).
d − c = ε.
Do đó với mọi A > A 0 thì:
∫ d
A∫
∣ I(y)dy −
c
c
A
a
∫ d
dx
c
c
A
f(x, y)dy∣ ≤
∫ d
∣ +∞ ∫
c
∣
A
f(x, y)dx ∣ ∣dy < ε.
Tức là ta đã chứng được với mọi ε > 0, tồn tại A 0 = A 0 (ε) sao cho với mọi A > A 0
ta có:
∫ d
A∫ ∫ d
∣ I(y)dy − dx f(x, y)dy∣ < ε.
c
a c
∫ d
A∫ ∫ d
+∞ ∫ ∫ d
Hay I(y)dy = lim dx f(x, y)dy = dx f(x, y)dy.
✷
c
A→+∞ a c
a c
Định lý 4.3.9 (Tính khả vi)
Giả thiết f(x, y) là hàm số xác định và liên tục theo biến x trên [a, +∞) với mỗi y cố
∂f(x, y)
định thuộc [c, d], có đạo hàm riêng liên tục theo (x, y) trong [a, +∞)×[c, d].
∂y
Hơn nữa:
1. Tích phân I(y) =
2. Tích phân
+∞ ∫
a
+∞ ∫
a
f(x, y)dx hội tụ với mọi y ∈ [c, d].
∂f(x, y)
dx hội tụ đều theo y trong đoạn [c, d].
∂y