1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

2.3. Chuỗi hàm 34
1. Chuỗi hàm +∞ ∑
a n (x) hội tụ đều trên S.
n=1
2. Dãy hàm b n (x) đơn điệu với mỗi x cố định và bị chặn đều trên S.
Khi đó chuỗi hàm +∞ ∑
a n (x)b n (x) hội tụ đều trên S.
n=1
Chứng minh: Ta giả thiết rằng dãy hàm {b n (x)} đơn điệu giảm và bị chặn đều bởi
M(nếu không ta xét dãy −b n (x)).
Đặt A k (x) =
k ∑
i=1
a i (x), do chuỗi +∞ ∑
a n (x) hội tụ nên với mọi ε > 0 tồn tại
n=1
∃n 0 = n 0 (ε) sao cho ∀ n > n 0 , ∀ m > 0 ta có:
m+n
∑
|A n+m (x) − A n (x)| =
∣ a k (x)
∣ <
Đặt:
k=n+1
α 1 (x) = a n+1 (x) = A n+1 (x) − A n (x),
α 2 (x) = a n+1 (x) + a n+2 (x) = A n+2 (x) − A n (x),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ε
3M , ∀ x ∈ S.
α m (x) = a n+1 (x) + . . . + a n+m (x) = A n+m (x) − A n (x),
khi đó: |α j (x)| ≤ ε , ∀ j = 1, m.
3M
Từ đây ta có:
∣ ∑
a k (x)b k (x) ∣ = ∣ ∣b n+1 (x)α 1 (x) + b n+2 (x) ( α 2 (x) − α 1 (x) ) + . . . +
∣ n+m
k=n+1
b n+m (x) ( α m (x) − α m−1 (x) )∣ ∣ = ∣ ∣α 1 (x) ( b n+1 (x) − b n+2 (x) ) + α 2 (x) ( b n+2 (x)
−b n+3 (x) ) + . . . + α m−1 (x) ( b n+m−1 (x) − b n+m (x) ) + α m (x)b n+m (x) ∣ < ε [ (bn+1
(x) − b n+2 (x) ) + . . . + ( b n+m−1 (x) − b n+m (x) ) + |b n+m (x)|]
3M
≤
ε [
]
b n+1 (x) − b n+m (x) + |b n+m (x)| ≤
ε .3M = ε.
3M
3M
Tóm lại, với mọi ε > 0 tồn tại n 0 = n 0 (ε) sao cho ∀ n > n 0 , ∀ m > 0 ta có:
∣
n+m
∑
k=n+1
a k (x)b k (x) ∣ < ε, ∀ x ∈ S.