1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

4.2. Tích phân phụ thuộc tham số với cận thay đổi 89
do đó lim
y→y0
I 2 (y) = 0 = I 2 (y 0 ), tức là I 2 (y) liên tục tại y 0 .
Tương tự ta cũng có:
vậy nên:
|I 3 (y)| = |
α(y
∫ 0 )
α(y)
f(x, y)dx| ≤ M.|α(y) − α(y 0 )|
lim |I 3 (y)| ≤ M. lim |α(y) − α(y 0 )| = 0
y→y 0 y→y0
do đó lim
y→y0
I 3 (y) = 0 = I 3 (y 0 ), tức là I 3 (y) cũng liên tục tại y 0 .
Vậy I = I 1 + I 2 + I 3 cũng liên tục tại y 0 mà y 0 bất kỳ thuộc [c, d] nên I(y) liên tục
trên [c, d].
✷
Hệ quả 4.2.3
Giả sử f(x, y) là hàm liên tục trong hình chữ nhật [a, b] × [c, d], α(y) và β(y) là
các hàm liên tục trong đoạn [c, d] có giá trị trong [a, b] thì tích phân phụ thuộc tham số:
∫β(y)
I(y) = f(x, y)dx, y ∈ [c, d]
α(y)
là một hàm khả tích trên đoạn [c, d].
Nhận xét: Nếu hàm f(x, y) hoặc α(y), β(y) không liên tục tại y 0 thì cũng không thể
β(y)
∫
kết luận I(y) = f(x, y)dx có liên tục tại y 0 hay không.
α(y)
Ví dụ 1: Dễ thấy I(y) =
β(y)
∫
α(y)
tục tại y 0 còn β(y) không liên tục tại y 0 .
Ví dụ 2: Xét hàm:
ϕ(y) =
1dx = β(y) − α(y) không liên tục tại y 0 nếu α(y) liên
{ 1 nếu y ≥ 0,
−1 nếu y < 0.
Rõ ràng ϕ(y) không liên tục tại y = 0. Tuy nhiên, tích phân:
ϕ(y)
∫
I(y) = 2xdx = x 2∣ ∣ ϕ(y)
= ϕ 2 (y) − 1 = 0 là hàm liên tục trên R .
−1
−1
Ví dụ 3: Xét hàm: