1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

2.5. Chuỗi Fourier 51
f(x) trên [−π, π]. Khi đó ta có:
a 0 = 1 π
∫ π
∫ π
f(x)dx, a k = 1 π
f(x) cos kxdx, b k = 1 π
∫ π
f(x) sin kxdx, ∀ k ∈ Z +
−π
−π
−π
Chứng minh: Dễ dàng kiểm tra được:
π∫
π∫
sin kx sin nxdx = cos kx cos nxdx =
−π
π∫
−π
sin kxdx =
π∫
−π
−π
cos kxdx =
π∫
−π
{ 0 nếu n ≠ k,
π nếu n = k
sin kx cos nxdx = 0, ∀ k, n ∈ Z + .
Từ đẳng thức f(x) = a 0
2 + +∞ ∑
(a n cos nx + b n sin nx) ta có:
n=1
1 π∫
f(x)dx = 1 π∫ a 0
π −π π −π 2 dx + 1 +∞∑ ( π∫
π∫
an cos nxdx + b n sin nxdx ) = a 0 .
π n=1 −π
−π
1 π∫
f(x) cos kxdx = 1 π∫ a 0
π −π
π −π 2 cos kxdx + 1 +∞∑ π∫
a n cos kx cos nxdx
π n=1 −π
+ 1 +∞∑ π∫
b n cos kx sin nxdx = a k .
π
1
π
π∫
−π
n=1
−π
f(x) sin kxdx = 1 π∫ a 0
π −π 2 sin kxdx + 1 +∞∑ π∫
a n sin kx cos nxdx
π n=1 −π
+ 1 +∞∑ π∫
b n sin kx sin nxdx = b k .
π
n=1
−π
Nhận xét: Nếu hàm f(x) chẵn thì f(x) sin nx là hàm lẻ và do đó
b n = 1 π∫
f(x) sin nxdx = 0, ∀ n ∈ N ∗ còn nếu hàm f(x) lẻ thì f(x) cos nx là hàm
π −π
lẻ và do đó a n = 1 π∫
f(x) cos nx = 0, ∀ n ∈ N ∗ .
π
−π
Định nghĩa 2.5.3
Cho f(x) là hàm xác định trên [−π, π]. Khi đó chuỗi a 0 ∑ (
2 ++∞ an cos nx+b n sin nx ) ,
n=0
trong đó:
a 0 = 1 π∫
f(x)dx, a k = 1 π∫
f(x) cos kxdx, b k = 1 π∫
f(x) sin kxdx
π
π
π
−π
−π
−π
✷