1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

4.3. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 93
+∞
∫
∣ f(x, y)dx∣ < ε.
A
Ví dụ: Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
hội tụ đều trên R vì:
I(y) =
+∞ ∫
1
cos y
1 + x 2dx
Với mọi ε > 0 tồn tại A 0 = tg( π 2 − ε) sao cho với mọi A > A 0, y ∈ R ta có:
+∞
∫ cos y
∣ ∣∣ ∣
∣
1 + x 2dx = lim cos y[arctg(t) − arctg(A)]∣ ∣
t→+∞
A
= | cos y|. [ π
2 − arctg(A)] < π 2 − arctg(A 0) = ε.
Nhận xét: Từ định nghĩa về sự hội tụ đều của tích phân suy rộng phụ thuộc tham số,
+∞ ∫
ta suy ra rằng tích phân I(y) = f(x, y)dx, y ∈ Y không hội tụ đều trên Y khi và
chỉ khi:
a
Tồn tại ε > 0 sao cho với mọi A 0 luôn tồn A > A 0 và y 0 ∈ Y để:
+∞
∫
∣ f(x, y 0 )dx∣ ≥ ε.
Ví dụ: Tích phân I(y) =
A
∫
+∞
0
e −xy dx không hội tụ đều trên (0, +∞).
Thật vậy, tồn tại ε = 1 e sao cho với mọi A 0 luôn tại A = |A 0 | + 1 và y 0 = 1 A để:
+∞
∫ ∣
∣ e −xy 0 ∣∣ dx −1( )
= lim e
−t. 1 A − e −A. 1 + |A 1 0 |
A =
t→+∞ y 0 e
A
≥ ε.
Vậy tích phân I(y) không hội tụ đều trên (0, +∞), tuy nhiên có thể chứng minh được
I(y) hội tụ đều trên mọi khoảng [α, +∞) với mọi α > 0 (coi như bài tập).
4.3.2 Các tiêu chuẩn hội tụ đều tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
Định lý 4.3.3 (Tiêu chuẩn Cauchy)
Điều kiện cần và đủ để tích phân suy rộng phụ thuộc tham số:
I(y) =
+∞ ∫
a
f(x, y)dx,
y ∈ Y