1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

3.1. Tích phân suy rộng loại 1 68
Hệ quả 3.1.8
Giả sử f(x), g(x) là những hàm xác định trong khoảng [a, +∞), khả tích trong mọi
đoạn hữu hạn [a, A], (A > a) và tồn tại b ≥ a sao cho 0 ≤ f(x) ≤ g(x), ∀ x ∈
[b, +∞).
Khi đó:
1. Nếu
2. Nếu
+∞ ∫
a
+∞ ∫
a
g(x)dx hội tụ thì
f(x)dx phân kỳ thì
+∞ ∫
a
f(x)dx cũng hội tụ.
+∞ ∫
a
g(x)dx cũng phân kỳ.
Hệ quả 3.1.9
Giả sử f(x), g(x) xác định và không âm trong [a, +∞) khả tích trên mọi đoạn hữu
hạn [a, A). Khi đó:
1. Nếu lim
x→+∞
2. Nếu lim
x→+∞
f(x)
+∞
g(x) = 0 và ∫
g(x)dx hội tụ thì
a
+∞ ∫
f(x)
+∞
g(x) = +∞ và ∫
g(x)dx phân kỳ thì
Chứng minh: Coi như một bài tập.
a
a
f(x)dx hội tụ.
+∞ ∫
a
f(x)dx cũng phân kỳ.
Định lý 3.1.10
Giả sử f(x) và g(x) là những hàm xác định và không âm trên khoảng [a, +∞), khả
f(x)
tích trong mọi đoạn hữu hạn [a, A], (A > a) và tồn tại giới hạn lim
x→+∞ g(x) = k với
0 < k < +∞. Khi đó các tích phân
cùng phân kỳ.
+∞ ∫
a
f(x)dx và
+∞ ∫
a
✷
✷
g(x)dx cùng hội tụ hay
f(x)
Chứng minh: Theo giả thiết lim
k→+∞ g(x) = k với 0 < k < +∞ nên khi chọn
0 < ε < k ∣ ∣∣
2 tồn tại b > a để: f(x)
∣ ∣∣
g(x) − k < ε, ∀ x ∈ [b, +∞)
hay
0 < k − ε < f(x)
g(x) < k + ε,
do đó ta có:
(k − ε).g(x) < f(x) (1) và g(x) > 1 .f(x) (2), ∀ x ∈ [b, +∞).
k + ε