1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

1.3. Sự hội tụ của chuỗi số bất kỳ 12
Ví dụ 1: Xét sự hội tụ của chuỗi
+∞∑
n=1
(−1) n−1
.
n
Dễ thấy a n = 1 là một dãy giảm và lim
n a n = 0.
n→+∞
Theo tiêu chuẩn Leibnitz ta có chuỗi đã cho hội tụ.
Ví dụ 2: Xét sự hội tụ của chuỗi: +∞ ∑
(−1) n−1 . 2 + (−1)n
n=1
n
Ta có a n = 2 + (−1)n và lim
n
a n = 0 nhưng dãy không đơn điệu giảm, do vậy
n→+∞
không áp dụng được dấu hiệu Leibnitz.
+∞∑
Dễ thấy: (−1) n−1 . 2 + (−1)n = +∞ ∑
(−1) n−1 . 2
n=1
n n=1 n − +∞ ∑ 1
n=1 n ,
khi đó +∞ ∑
(−1) n−1 . 2
n=1 n hội tụ theo dấu hiệu Leibnitz, còn chuỗi +∞ ∑ 1
phân kỳ. Do vậy
n=1 n
chuỗi đã cho phân kỳ.
1.3.2 Dấu hiệu Dirichlet
Định lý 1.3.2 (Dấu hiệu Dirichlet)
Giả sử rằng chuỗi +∞ ∑
a n b n thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện:
n=1
1. Chuỗi +∞ ∑
a n có tổng riêng bị chặn, tức là tồn tại M > 0 sao cho :
n=1
2. Dãy {b n } đơn điệu và lim
n→+∞ b n = 0.
|A n | = |a 1 + . . . + a n | ≤ M, ∀n ∈ N ∗ .
Khi đó chuỗi
+∞∑
n=1
a n b n
hội tụ.
Chứng minh: Ta có thể xem dãy {b n } giảm vì nếu không ta xét dãy {−b n }. Do
lim b n = 0 nên ∀ ε > 0, ∃n 0 > 0 sao cho ∀ n > n 0 ta đều có 0 ≤ b n <
ε
n→+∞ 2M . Khi