1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

Chương 2
Dãy hàm và chuỗi hàm
2.1 Khái niệm về dãy hàm và sự hội tụ đều
2.1.1 Khái niệm hội tụ và hội tụ đều của dãy hàm
Định nghĩa 2.1.1
Giả sử U là một tập con của R và với mỗi n ∈ N ∗ có một hàm f n : U −→ R . Khi
đó {f n (x)} được gọi là một dãy hàm xác định trên U.
1. Nếu tại x 0 ∈ U, dãy số {f n (x 0 )} hội tụ thì x 0 được gọi là điểm hội tụ của dãy
hàm đã cho.
2. Nếu tại x 0 ∈ U, dãy số {f n (x 0 )} phân kỳ thì ta nói dãy hàm phân kỳ tại x 0 .
3. Tập các điểm hội tụ được gọi là miền hội tụ của dãy hàm đó.
4. Gọi A là miền hội tụ của dãy hàm {f n (x)} khi đó ∀x ∈ A , nếu ta đặt:
f(x) = lim
n→∞
f n (x)
thì f(x) được gọi là giới hạn của dãy hàm {f n (x)} trên tập A và ký hiệu là
A
−→ f.
f n
5. Theo định nghĩa trên với mỗi x ∈ A và mọi ε > 0 tồn tại n 0 = n 0 (ε, x) sao cho
với mọi n > n 0 thì |f n (x) − f(x)| < ε.
Ví dụ 1: Dãy hàm f n (x) = 2n2 x 3
hội tụ đến hàm f(x) = 2x trên R .
1 + n 2 x2 Thật vậy, với mọi ε > 0 tồn tại n 0 = [ 1 ε ] + 1 sao cho với mọi n > n 0, ta có:
20