1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

4.1. Tích phân phụ thuộc tham số với cận cố định 84
4.1.2 Tính liên tục của tích phân phụ thuộc tham số
Định lý 4.1.2
Nếu hàm f(x, y) xác định và liên tục trong hình chữ nhật [a, b] × [c, d] thì tích phân
phụ thuộc tham số I(y) =
∫ b
a
f(x, y)dx là một hàm liên tục trên [c, d].
Chứng minh: Vì f(x, y) liên tục trên tập đóng và bị chặn [a, b] × [c, d] nên f(x, y)
liên tục đều trên đó. Vậy nên với mỗi y 0 cố định ∀ ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho
∀ x ∈ [a, b], y ∈ [c, d] mà |y − y 0 | < δ thì |f(x, y) − f(x, y 0 )| <
ε
b − a .
Bởi vậy ta sẽ có:
∫ b
∫ b
|I(y) − I(y 0 )| = | f(x, y)dx − f(x, y 0 )dx| = |
a
a
≤
∫ b
a
|f(x, y) − f(x, y 0 )|dx ≤
∫ b
a
[f(x, y) − f(x, y 0 )]dx|
ε
b − a .(b − a) = ε với mọi y ∈ [c, d], |y − y 0| < δ.
Như vậy với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mọi y ∈ [c, d] thỏa mãn |y − y 0 | < δ
thì |I(y) − I(y 0 )| < ε. Có nghĩa là I(y) liên tục tại y 0 mà y 0 là điểm tùy ý trên [c, d],
vậy nên tích phân phụ thuộc tham số I(y) liên tục trên [c, d].
✷
Chú ý: Nếu hàm f(x, y) không liên tục trên [a, b] × [c, d] thì có thể tích phân phụ
thuộc tham số I(y) =
∫ b
a
f(x, y)dx không liên tục trên [c, d]. Ví dụ sau đây chỉ ra
điều đó.
Ví dụ 1: Cho hàm số xác định trên [0, 1] × [0, 1] như sau:
{ x
nếu y ≠ 0,
f(x, y) = y
0 nếu y = 0.
Dễ dàng kiểm tra được đây là hàm số không liên tục tại những điểm (a, 0), ∀ a ∈ [0, 1].
Ta tính được:
I(y) =
∫ 1
Dễ thấy đây là hàm số không liên tục tại 0.
0
⎧
⎨ 1
nếu y ≠ 0,
f(x, y)dx = 2y
⎩
0 nếu y = 0.
Tuy nhiên không phải tất cả các hàm f(x, y) không liên tục trên [a, b] × [c, d] nào thì
tích phân phụ thuộc tham số của nó cũng không liên tục trên [c, d].
Ví dụ 2: Hàm số xác định trên [0, 1] × [0, 1] như sau: