1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

4.1. Tích phân phụ thuộc tham số với cận cố định 86
Do ∂f (x, y) liên tục trên [a, b] × [c, d] nên tích phân phụ thuộc tham số của nó là
∂y
hàm liên tục trên [c, d]. Hơn nữa khi y tiến tới y 0 thì ξ cũng tiến tới y 0 , vậy nên:
I(y) − I(y 0 )
lim
y→y 0 y − y 0
= lim
ξ→y0
∫b
a
∫b
∂f
(x, ξ)dx =
∂y
a
∂f
∂y (x, y 0)dx
∫ b
Đẳng thức trên chứng tỏ I ′ ∂f
(y 0 ) =
a ∂y (x, y 0)dx, nhưng y 0 tùy ý trong [c, d] nên ta
∫
có I ′ b ∂f
(y) = (x, y)dx với mọi y ∈ [c, d].
∂y ✷
a
Định lý 4.1.4 (Tính khả tích)
Nếu f(x, y) là hàm liên tục trên hình chữ nhật [a, b] × [c, d] thì
∫ ξ
c
dy
∫ b
a
f(x, y)dx =
Chứng minh: Đặt: F (ξ) =
Suy ra F (ξ) =
∫ b
a
φ(x, ξ)dx
∫ b
a
∫ b
a
và
dx
∫ ξ
c
f(x, y)dy
với mọi ξ ∈ [c, d].
∫ ξ
∫ ξ
dx f(x, y)dy, φ(x, ξ) = f(x, y)dy
c
c
∂φ(x, ξ)
dx = f(x, ξ).
∂ξ
Do f(x, y) liên tục trên [a, b] × [c, d] nên theo định lý về tính liên tục của tích phân
phụ thuộc tham số thì φ(x, ξ) liên tục theo x ∈ [a, b] với mỗi ξ cố định thuộc [c, d]. Khi
đó theo định lý về tính khả vi của tích phân phụ thuộc tham số thì F (ξ) =
là hàm khả vi và ta có:
Mặt khác ta xét hàm số
F ′ (ξ) =
G(ξ) =
∫ b
a
∫ ξ
c
∂φ(x, ξ) ∫ b
dx = f(x, ξ)dx = I(ξ).
∂ξ
a
dy
∫ b
a
f(x, y)dx =
∫ ξ
c
I(y).
∫ b
a
φ(x, ξ)dx
Vì f(x, y) liên tục trên hình chữ nhật [a, b]×[c, d], nên I(y) là hàm liên tục trên [c, d],
do đó G(ξ) là hàm khả vi trên (c, d) và ta có:
( ∫
G ′ ξ
′
(ξ) = I(y)dy)
= I(ξ).
c