1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

4.1. Tích phân phụ thuộc tham số với cận cố định 87
Từ đây suy ra F ′ (ξ) = G ′ (ξ), tức là F (ξ) = G(ξ) + α.
Thay ξ = c ta có F (c) = G(c) + α, nhưng F (c) = G(c) = 0 suy ra α = 0.
Vậy ta có F (ξ) = G(ξ) với mọi ξ ∈ [c, d]. Tức là:
∫ ξ
∫ b
∫ ξ
dy f(x, y)dx = dx f(x, y)dy với mọi ξ ∈ [c, d]
c a
a c
Thay ξ = d vào kết quả của định lý trên ta có hệ quả sau:
Hệ quả 4.1.5
Nếu f(x, y) là hàm liên tục trên hình chữ nhật [a, b] × [c, d] thì
∫ d
c
dy
∫ b
a
f(x, y)dx =
∫ b
∫ b
a
dx
∫ d
c
f(x, y)dy.
✷
Ví dụ 1: Tính tích phân: I(a, b) =
∫ b
∫ 1
0
x b − x a
ln x dx, 0 < a < b
x b − x a
∫
Ta thấy rằng: = x y b
dy do đó I(a, b) = dx x y dy.
ln x a
0 a
Vì hàm f(x, y) liên tục trên [0, 1] × [a, b] nên theo định lý trên ta có thể thay đổi thứ
tự lấy tích phân:
∫ 1 ∫ b ∫
I(a, b) = dx x y b ∫ 1 ∫
dy = dy x y b x y+1
dx = ∣ 1
0 a
a 0
a y + 1
dy = ∫b
dy
0 a y + 1 = ln b + 1
a + 1 .
Ví dụ 2: Tính tích phân: I =
∫ 1
0
ln 2 + √ x + 4
1 + √ x + 1 dx
Dễ thấy rằng: ln 2 + √ x + 4
1 + √ x + 1 = ln ( y + √ x + y 2)∣ ∣ 2 2
1 = ∫
Suy ra:
I =
=
∫ 1
0
∫ 2
1
∫ 2
dx
1
1
2
√
y2 + x dy = ∫
1
dy
∫ 1
0
∫ 1
1
2
√
y2 + x dx = ∫
1
1
1
√
y2 + x dy
2 √ y 2 + x ∣ ∣ 1 0 dy
2( √ 1 + y 2 − y)dy = [ y √ 1 + y 2 + ln(y + √ 1 + y 2 ) − y 2]∣ ∣ 2 1
= 2 √ 5 + ln(2 + √ 5) − √ 2 − ln(1 + √ 2) − 3 ≈ 0.62018428