1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

3.1. Tích phân suy rộng loại 1 74
Dễ thấy tích phân
+∞ ∫
1
f(x)dx =
Còn hàm g(x) =
Vậy tích phân
+∞ ∫
1
+∞ ∫
1
∫
+∞
1
f(x)dx hội tụ vì:
x cos x − sin x
x 2
dx = sin x
x
∣
∣ +∞
1
= − sin 1.
x đơn điệu tăng và bị chặn bởi 1 trên [1, +∞).
x + 1
x cos x − sin x
dx hội tụ theo dấu hiệu Abel.
x(x + 1)
3.1.4 Sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ
Định lý 3.1.14
Giả sử hàm f(x) xác định trên khoảng [a, +∞) và khả tích trên mọi đoạn hữu hạn
+∞ ∫
+∞ ∫
[a, A], (A ≥ a). Khi đó nếu tích phân |f(x)|dx hội tụ thì tích phân f(x)dx
cũng hội tụ.
Chứng minh: Do tích phân
+∞ ∫
ε > 0 tồn tại A 0 > 0 sao cho với mọi A ′ > A > A 0 ta có:
Khi đó ta cũng có:
∣
∫A ′
A
∫A ′
A
a
a
|f(x)|dx hội tụ nên theo tiêu chuẩn Cauchy, với mọi
|f(x)|dx < ε.
f(x)dx∣ ≤
∫A ′
Như vậy theo tiêu chuẩn Cauchy tích phân
A
∣
∣f(x) ∣ ∣dx < ε.
+∞ ∫
a
f(x)dx hội tụ.
Nhận xét: Điều ngược lại của định lý 3.1.14 không đúng, để thấy rõ điều này ta xét
ví dụ sau:
Ta đã biết tích phân
+∞ ∫
lý 3.1.12), ta sẽ chứng minh tích phân
Thật vậy, ta có
Xét tích phân
+∞ ∫
1
1
sin x
dx hội tụ theo dấu hiệu Dirichle (xem ví dụ 1 của định
x
+∞ ∫
| sin x|
≥ sin2 x
với mọi x ≥ 1.
x x
sin 2 x
+∞
x dx = ∫ 1 − cos 2x
dx =
2x
1
1
| sin x|
dx phân kỳ.
x
+∞ ∫
1
dx
+∞
2x − ∫
1
cos 2x
2x
dx.
a
✷