1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

1.1. Các khái niệm và tính chất cơ bản của chuỗi số 3
Định lý 1.1.4 (Tiêu chuẩn Cauchy)
Điều kiện cần và đủ để chuỗi +∞ ∑
a k hội tụ là với mọi ε > 0, ∃ n 0 = n 0 (ε) sao cho
k=1
∀ n > n 0 , ∀ p ∈ N ∗ ta đều có |a n+1 + a n+2 + . . . + a n+p | < ε.
Chứng minh: Xét dãy tổng riêng A n =
n ∑
k=1
a k , theo định nghĩa chuỗi +∞ ∑
a k hội tụ
khi và chỉ khi dãy {A n } hội tụ, mặt khác theo tiêu chuẩn Cauchy dãy A n hội tụ khi
và chỉ khi với mọi ε > 0, ∃ n 0 = n 0 (ε) sao cho ∀ n > n 0 , ∀ p ∈ N ∗ ta có
|A n+p − A n | < ε, tức là |a n+1 + a n+2 + . . . + a n+p | < ε.
Ta có điều phải chứng minh.
Hệ quả 1.1.5
Điều kiện cần và đủ để chuỗi +∞ ∑
k=1
∀ n 0 ∈ N ∗ tồn tại n > n 0 và p ∈ N ∗ để:
k=1
a k phân kỳ là tồn tại ε > 0 sao cho với mọi
|a n+1 + a n+2 + . . . + a n+p | > ε.
+∞∑
sin kx
Ví dụ 1: Chuỗi
hội tụ vì với mọi ε > 0 cho trước, tồn tại
k=1 2 k
n 0 = [log 2 ( 1 ε )] + 1 sao cho với mọi n > n 0 và mọi p ∈ N ∗ ta có:
∣
1
2 < 1
n
sin(n + 1)x
2 n+1 + . . . +
< 1
2 = ε và
log 2( 1 ε )
sin(n + p)x
∣ ∣∣ 1 <
2 n+p 2 n(1 2 + . . . + 1 2 p) = 1 2 n(1 − 1 2 p) < 1 2 < ε n
2 n 0
Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy chuỗi đã cho hội tụ.
Ví dụ 2: Chuỗi điều hòa +∞ ∑ 1
k=1 k phân kỳ vì tồn tại ε = 1 3 để ∀n 0 ∈ N ∗ tồn tại n > n 0
và p = n thỏa mãn:
1
∣
n + 1 + 1
n + 2 + . . . + 1
∣ > n. 1
n + n 2n = 1 2 > ε.
Vậy theo hệ quả của tiêu chuẩn Cauchy chuỗi đã cho phân kỳ.
Chú ý: Kết quả này được sử dụng khi làm bài tập.
✷