1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

2.5. Chuỗi Fourier 54
Như vậy ∀ x ∈ [0, π] ta có f(x) = f ∗ (x) ∼ a 0
2 + +∞ ∑
a 0 = 2 π
π∫
0
f(x)dx,
a n = 2 π
π∫
0
n=1
f(x) cos nxdx.
a n cos nx trong đó:
Chuỗi Fourier trên được gọi là khai triển chẵn của hàm f(x) trong [0, π].
Ví dụ: Khai triển chẵn hàm f(x) = x(x − 1) thành chuỗi Fourier trên đoạn [0, π].
Ta có:
a 0 = 2 π∫
(x 2 − x)dx = 2 ( x
3 )∣
π 0
π 3 − x2 ∣∣
π
2
= 2π2
0 3 − π,
a n = 2 π∫
(x 2 − x) cos nxdx
π 0
= 2 sin nx
π (x2 − x) ∣ π
n
− 2 π∫
(2x − 1) sin nxdx
0 nπ 0
= 2
nx
(2x − 1)cos ∣ π
nπ n
− 4 π∫
cos nxdx
0 πn 2
=
Vậy ta có khai triển:
2(2π − 1)
π.n 2 .(−1) n + 2
π.n 2.
x(x − 1) = 2π2
3 − π + 2 π
∞∑
n=1
0
[ (2π − 1)(−1) n + 1
]
cos nx.
n 2
Định nghĩa 2.5.7
Giả sử f(x) xác định và khả vi từng khúc trong [0, π]. Hàm f ∗ (x) xác định trên
[−π, π] bởi f ∗ (x) = f(x), ∀ x ∈ [0, π] và f ∗ (x) = −f(−x), ∀ x ∈ [−π, 0], dễ thấy
f ∗ (x) là hàm lẻ và được gọi là thác triển lẻ của f(x) trên [−π, π].
Dễ thấy hệ số Fourier của f trong khai triển Fourier là:
a 0 = 1 π∫
f ∗ (x)dx = 0, ( vì f ∗ (x) là hàm lẻ)
π
a n = 1 π
b n = 1 π
−π
π∫
−π
π∫
−π
f ∗ (x) cos nxdx = 0, ( vì f ∗ (x) cos nx là hàm lẻ)
f ∗ (x) sin nxdx = 2 π
π∫
0
f ∗ (x) sin nxdx = 2 π
π∫
f(x) sin nxdx.
0