1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

2.4. Chuỗi lũy thừa 40
2. Chuỗi +∞ ∑
a n x n phân kỳ với mọi x mà |x| > R.
n=0
Chứng minh:
1. Nếu chuỗi +∞ ∑
a n x n chỉ hội tụ tại 0 thì R = 0, ta có điều phải chứng minh. Nếu
n=0
chuỗi +∞ ∑
a n x n hội tụ tại x 0 ≠ 0 thì gọi A là miền hội tụ của chuỗi +∞ ∑
a n x n khi
n=0
đó theo định lý 2.4.2 ta có (−|x 0 |, |x 0 |) ⊂ A, đặt R = sup A, suy ra R > 0. Lấy
một giá trị bất kỳ x ∈ (−R, R) theo định nghĩa supremum tồn tại điểm x 1 ∈ A
sao cho |x| < x 1 < R. Theo định lý 2.4.2, chuỗi +∞ ∑
a n x n hội tụ tuyệt đối tại x.
n=0
Như vậy chuỗi +∞ ∑
a n x n hội tụ tuyệt đối trong khoảng (−R, R).
n=0
Giả sử rằng r là một số thỏa mãn điều kiện 0 < r < R. Khi đó chuỗi số
+∞∑
n=0
|a n |r n hội tụ. Mặt khác với mọi x ∈ [−r, r] ta có |a n x n | ≤ |a n r n |.
Theo dấu hiệu Weierstrass chuỗi lũy thừa +∞ ∑
a n x n hội tụ đều trong đoạn [−r, r].
2. Giả sử rằng tồn tại điểm x với |x| > R mà tại đó chuỗi +∞ ∑
a n x n hội tụ.
Vì |x| > R nên tồn tại x 1 sao cho R < x 1 < |x|. Theo định lý 2.4.2, chuỗi
+∞∑
n=0
n=0
a n x n hội tụ tại x 1 do đó x 1 ∈ A nhưng x 1 > R điều này trái với giả thiết vì
n=0
R = sup A. Vậy chuỗi +∞ ∑
a n x n phân kỳ tại mọi x mà |x| > R.
n=0
Định nghĩa 2.4.4
1. Số R tồn tại ở định lý trên được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa.
2. Khoảng (−R, R) được gọi là khoảng hội tụ của chuỗi +∞ ∑
a n x n .
3. Dễ thấy nếu chuỗi lũy thừa +∞ ∑
a n x n có khoảng hội tụ là (−R, R) thì chuỗi
+∞∑
n=0
n=0
a n (x − x 0 ) n có khoảng hội tụ là (x 0 − R, x 0 + R).
n=0
n=0
✷