1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

2.4. Chuỗi lũy thừa 48
2. Khai triển hàm lượng giác sin x, cos x thành chuỗi lũy thừa.
Ta có sin (n) (x) = sin(x + nπ 2 ) nên sin(n) (0) = sin( nπ 2 ).
Suy ra chuỗi Taylor của sin x là x − x3
3! + x5
5! − x7
7! + . . .
Dễ thấy chuỗi +∞ ∑
(−1) n x 2n+1
có bán kính hội tụ là +∞.
(2n + 1)!
n=0
Đặt S(x) = +∞ ∑
(−1) n x 2n+1
(2n + 1)! ta có S′′ (x) = −S(x) và S(0) = 0, S ′ (0) = 1.
n=0
Giải phương trình vi phân ta được S(x) = sin x.
Đạo hàm hai vế của đẳng thức:
sin x = +∞ ∑
(−1) n x 2n+1
(2n + 1)!
ta được:
n=0
cos x = +∞ ∑
(−1) n x2n
n=0
(2n)! .
Chú ý: Nếu áp dụng định lý 2.4.14 thì ta có ngay kết quả vì:
| sin (n) (x)| = ∣ sin ( x + nπ )∣ ∣ ≤ 1, ∀ x ∈ R .
2
3. Khai triển hàm ln(x + 1) thành chuỗi lũy thừa.
Ta có: 1 + t + t 2 + . . . + t n + . . . = 1 , ∀ t ∈ (−1, 1).
1 − t
Suy ra 1 − t + t 2 − t 3 + . . . + (−1) n t n + . . . = 1 , ∀ t ∈ (−1, 1)
1 + t
Tích phân hai vế ta được:
ln(1 + x) =
∫ x
0
+∞
dt
1 + t = ∑
(−1) n
n=0
∫x
0
t n dt =
+∞∑
n=0
(−1) n xn+1
n + 1
, ∀ x ∈ (−1, 1).
4. Khai triển hàm arctg x thành chuỗi lũy thừa.
1
Áp dụng khai triển
1 + t = 1 − 2 t2 + t 4 − . . . + (−1) n .t 2n + . . . , ∀ t ∈ (−1, 1).
Tích phân hai vế ta được