1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

2.4. Chuỗi lũy thừa 46
2.4.3 Khai triển hàm thành chuỗi lũy thừa
Định lý 2.4.12
Giả sử chuỗi lũy thừa +∞ ∑
+∞∑
n=0
n=0
a n (x − x 0 ) n , ∀ x ∈ (x 0 − R, x 0 + R). Khi đó:
1. f là hàm khả vi vô hạn trong (x 0 − R, x 0 + R).
2. a n = f (n) (x 0 )
, ∀ n ∈ N ∗ và f(x) = +∞ ∑
n!
n=0
Chứng minh:
1. Suy ra trực tiếp từ hệ quả 2.4.10
a n (x − x 0 ) n có bán kính hội tụ R > 0 và f(x) =
f (n) (x 0 )
(x − x 0 ) n .
n!
2. Do f khả vi vô hạn lần nên lấy đạo hàm cấp n hai vế của:
f(x) = +∞ ∑
a k (x − x 0 ) k ta được:
k=0
f (n) (x) = +∞ ∑
k=n
k!a k
(k − n)! (x − x 0) k−n .
Cho x = x 0 ta có f (n) (x 0 ) = a n .n! suy ra a n = f (n) (x 0 )
.
n!
Định nghĩa 2.4.13
Giả sử f là hàm khả vi vô hạn trong lân cận nào đó của điểm x 0 khi đó chuỗi
+∞∑ f (n) (x 0 )
(x − x 0 ) n được gọi là chuỗi Taylor của hàm f(x) tại x 0 .
n!
n=0
1. Nếu x 0 = 0 thì chuỗi +∞ ∑
f(x).
n=0
f (n) (0)
x n được gọi là chuỗi Mac-Laurin của hàm
n!
2. Nếu chuỗi Taylor của hàm f(x) hội tụ về chính nó trên tập A thì ta nói rằng
f(x) có thể khai triển thành chuỗi Taylor trên A.
Định lý 2.4.14
Nếu trong lân cận (x 0 − δ, x 0 + δ) hàm f(x) có đạo hàm mọi cấp và tồn tại M > 0
sao cho
|f (n) (x)| < M, ∀ n ∈ N ∗ , ∀ x ∈ (x 0 − δ, x 0 + δ)
thì hàm f có thể khai triển thành chuỗi Taylor tại x 0 với mọi x ∈ (x 0 − δ, x 0 + δ).
✷