1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

3.2. Tích phân suy rộng loại 2 82
III.45.
Khảo sát sự hội tụ của các tích suy rộng sau:
a.
c.
e.
g.
i.
∫ π
2
0
∫ 1
0
∫ 1
0
∫ +∞
1
∫ 1
Bài tập định tính:
0
dx
√ 1 − cos x
b.
ln(1 + x 4 3)
√ x sin x
dx d.
x α (1 − x) β dx f.
dx
x p . ln q x
x p ln p ( 1 x )dx
h.
∫ 1
0
∫ 1
0
∫ +∞
0
∫ π
2
0
e x − 1
1 − √ cos x dx
ln x
√
1 − x
2 dx
dx
x p + x q
dx
sin p (x). cos q (x)
III.46. Chứng minh rằng nếu f ′ (x) đơn điệu tăng và dần ra +∞ khi x → +∞ thì
+∞ ∫
+∞ ∫
các tích phân sin(f(x))dx và cos(f(x))dx hội tụ.
0
0
III.47. Giả sử f(x) xác định trong khoảng [a, +∞) và tuần hoàn với chu kỳ T > 0,
còn g(x) đơn điệu trong khoảng [a, +∞) và dần về 0 khi x → +∞
a. Chứng minh rằng nếu
b. Giả sử rằng
và
+∞ ∫
a
III.48.
hay không?
III.49.
+∞ ∫
a
a+T ∫
a
a+T ∫
a
f(x)dx = 0 thì tích phân
+∞ ∫
a
f(x)g(x)dx hội tụ.
f(x)dx = k ≠ 0, chứng minh rằng các tích phân
g(x)dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
Nếu tích phân
Giả sử
+∞ ∫
+∞ ∫
f(x)ϕ(x)dx có hội tụ hay không?
a
a
+∞ ∫
a
f(x)g(x)dx
f(x)dx hội tụ thì có nhất thiết f(x) → 0 khi x → +∞
f(x)dx hội tụ còn ϕ(x) là hàm bị chặn thì tích phân