1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

2.4. Chuỗi lũy thừa 42
∣ Trường hợp ρ = lim
a n+1∣∣∣
∣ được chứng minh tương tự. ✷
a n
Ví dụ 1: Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa +∞ ∑
√
n
Ta có lim |an | =
n→+∞
lim
n→+∞
1
n√ 2n + 1
= 1.
n=0
(−1) n x n
2n + 1 .
Vậy chuỗi lũy thừa đã cho có bán kính hội tụ R = 1 và khoảng hội tụ (−1, 1).
Tại x = −1 chuỗi trở thành +∞ ∑ 1
và là chuỗi phân kỳ.
n=0 2n + 1
Tại x = 1 chuỗi +∞ ∑ (−1) n
hội tụ theo dấu hiệu Leibniz.
2n + 1
n=0
Vậy miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là −1 < x ≤ 1.
Ví dụ 2: Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa +∞ ∑ x n
n=0 n! .
|a n+1 |
n!
Ta có lim = lim
n→+∞ |a n | n→+∞(n + 1)! = lim 1
n→+∞(n + 1) = 0.
Vậy bán kính hội tụ R = +∞, tức là chuỗi lũy thừa đã cho hội tụ với mọi x ∈ R .
Ví dụ 3: Xét miền hội tụ của chuỗi lũy thừa +∞ ∑
n n (x − 1) n .
Ta có
lim
n→+∞
điểm duy nhất x = 1.
n=0
n√
nn = +∞, suy ra bán kính hội tụ R = 0 và chuỗi chỉ hội tụ tại một
Ví dụ 4: Xét miền hội tụ của chuỗi lũy thừa +∞ ∑
Ta có
lim n √ ∣∣∣
cos
n ( 2nπ
3
n=0
) ∣ ∣ ∣ = lim
∣ ∣∣ cos(
2nπ
3 ) ∣ ∣∣ = 1.
cos ( n 2nπ) x n .
3
Vậy chuỗi đã cho có bán kính hội tụ là 1.
Tại x = ±1 chuỗi số +∞ ∑
cos ( n 2nπ) (±1) n phân kì do các hạng tử không dần về 0
n=0 3
khi n → +∞.
Như vậy miền hội tụ của chuỗi đã cho là khoảng (−1, 1).