1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

2.3. Chuỗi hàm 32
Như vậy với mọi ε > 0 tồn tại n 0 để với mọi n > n 0 và mọi p > 0 ta có:
∣
∣u n+1 (x) + u n+2 (x) . . . + u n+p (x) ∣ ∣ < ε, ∀x ∈ U.
Theo tiêu chuẩn Cauchy suy ra chuỗi +∞ ∑
u n (x) hội tụ đều trên U.
n=1
Ví dụ 1: Xét tính hội tụ đều của chuỗi hàm +∞ ∑
Dễ thấy ∀ x ∈ R ta có: |U n (x)| =
Do chuỗi +∞ ∑
n=1
1
n hội tụ nên chuỗi hàm +∞ ∑
2
n=1
| cos nx|
n 2 + x 4 < 1 n 2.
n=1
Ví dụ 2: Xét sự hội tụ của chuỗi hàm +∞ ∑
n=1
n=1
cos nx
n 2 + x
(
1 2x + 1
2 n x + 2
cos nx
n 2 + x 4 trên R .
hội tụ đều trên R .
4
) n
trên đoạn [−1, 3].
Dễ thấy ∣ 2x + 1
∣
∣ = ∣2 − 3
∣ < 7 , ∀ x ∈ [−1, 3]
x + 2 x + 2 5 do vậy |U n (x)| = ∣ 2x + 1
x + 2 .1 ∣ n ( 7
) n,
≤ ∀ x ∈ [−1, 3].
2 10
Mặt khác, chuỗi số +∞ ∑ ( 7
) n ∣ ∣∣ 7
hội tụ do ∣ < 1.
n=1 10
10
Như vậy chuỗi +∞ ∑ 1
( 2x + 1
) n
hội tụ đều trên [−1, 3] theo dấu hiệu Weierstrass.
2 n x + 2
Định lý 2.3.6 (Dấu hiệu Dirichlet)
Giả sử rằng hai chuỗi hàm +∞ ∑
a n (x), +∞ ∑
b n (x) xác định trên S thỏa mãn 2 điều kiện:
n=1
n=1
∑
1. Dãy tổng riêng: A n (x) = n a k (x) bị chặn đều trên S, nghĩa là tồn tại M > 0
sao cho:
|A n (x)| =
k=1
∣ n ∑
k=1
a k (x) ∣ ≤ M, ∀ n ∈ N ∗ , ∀ x ∈ S.
2. Với mọi x ∈ S cố định dãy b n (x) đơn điệu và b n (x) hội tụ đều đến 0.
Khi đó chuỗi hàm +∞ ∑
a n (x)b n (x) hội tụ đều trên S.
n=1
✷