1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

4.3. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 92
= cos(ye2y )
y
= cos(ye2y )
y
− cos(y3 )
y
− 3 cos(y3 )
y
+ 2 cos(ye 2y ) − 2 cos(y3 )
y
+ 2 cos(ye 2y ).
4.3 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
4.3.1 Định nghĩa hội tụ và hội tụ đều tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
Định nghĩa 4.3.1
Giả sử f(x, y) là hàm số xác định với mọi x ∈ [a, +∞) và y ∈ Y ⊂ R sao cho
với mỗi y cố định thì f(x, y) khả tích suy rộng trong khoảng [a, +∞). Khi đó
+∞ ∫
I(y) = f(x, y)dx là một hàm số xác định trong Y và được gọi là tích phân suy
a
rộng phụ thuộc tham số.
Theo định nghĩa tích phân suy rộng thì với mỗi y ∈ Y ta có:
I(y) =
lim
A→+∞
∫ A
a
f(x, y)dx
Tức là: với mọi ε > 0 tồn tại A 0 = A 0 (ε, y) sao cho với mọi A > A 0 thì:
+∞
∫
A∫
+∞
∫
∣ f(x, y)dx − f(x, y)dx∣ = ∣ f(x, y)dx∣ < ε
a
trong đó A 0 (ε, y) nói chung phụ thuộc cả ε và y.
a
Ví dụ: Hàm f(x, y) = y khả tích trên [1, +∞) với mỗi y ∈ R . Ta có:
x2 I(y) =
∫+∞
1
y
x 2dx =
lim
A→+∞
∫ A
Định nghĩa 4.3.2
Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số:
I(y) =
+∞ ∫
a
1
f(x, y)dx,
A
y
x = lim
[ y − 2 A→+∞ 3A + y ] y = 3 3 3 .
y ∈ Y
được gọi hội tụ đều trên Y nếu với mọi ε > 0 tồn tại A 0 = A 0 (ε) (không phụ thuộc
y) sao cho với mọi A > A 0 và y ∈ Y thì: