1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

3.1. Tích phân suy rộng loại 1 66
∫
+∞
∫+∞
( )
αf(x) + βg(x) dx = α f(x)dx + β
∫
+∞
f(x)dx.
a
Chứng minh: Coi như bài tập.
Ví dụ 1: Tính tích phân suy rộng
+∞ ∫
0
a
e −x sin xdx.
Ta có: I = ∫ e −x sin xdx = − ∫ e −x d cos x
= − ( e −x cos x − ∫ cos xde −x) + C = −e −x cos x − ∫ e −x d sin x + C
= −e −x cos x − ( e −x sin x + ∫ e −x sin xdx ) +C
= −e −x (sin x + cos x) − I + C.
a
✷
Vậy
I = ∫ e −x sin xdx = − 1 2 e−x (sin x + cos x) + C , khi đó:
2
+∞ ∫
Tương tự ta cũng có
0
e −x sin xdx =
+∞ ∫
0
lim
A→+∞
= lim
A→+∞
= lim
A→+∞
A∫
0
e −x cos xdx = 1 2 .
Ví dụ 2: Khảo sát sự hội tụ của tích phân
1. Với α ≠ 1, ta có:
+∞ ∫
a
• Nếu α > 1 thì
• Nếu α < 1 thì
2. Với α = 1, ta có
dx
x α =
lim
A→+∞
e −x sin xdx
[
− 1 2 e−x( sin x + cos x ) + C ]∣ ∣∣
A
2 0
[
− 1 2 e−A( sin A + cos A ) + 1 ]
= 1 2 2 .
+∞ ∫
a
dx
, (a > 0).
xα x 1−α
∣ A
1 − α
= lim A 1−α − a 1−α
a A→+∞ 1 − α
lim
A→+∞ A1−α = 0 nên
+∞ ∫
lim
A→+∞ A1−α = +∞ nên
+∞ ∫
a
dx
x =
lim
A→+∞
A∫
a
a
dx a1−α
dx =
xα α − 1 .
+∞ ∫
a
dx
dx = +∞.
xα dx
∣ ∣∣
x = lim ln x A
= +∞.
A→+∞ a