1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

4.3. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 102
Hơn nữa, tích phân
theo y ≥ y 0 > 0.
+∞ ∫
0
| − e −xy sin x| ≤ e −xy ≤ e −y 0x , x ∈ [0, +∞).
e −y 0x dx hội tụ, do đó tích phân −
Áp dụng tính chất khả vi của tích phân phụ thuộc tham số suy ra
+∞ ∫
−xy
sin x
I(y) = e
x
dx
0
+∞ ∫
0
e −xy sin xdx hội tụ đều
là hàm khả vi với mọi y > 0 và ta có:
I ′ +∞ ∫
[ −e
(y) = − e −xy −xy
]∣ ∣∣
sin xdx = − lim
A→+∞ 1 + y 2(cos x + y sin x) A
= − 1
0 1 + y 2
0
0
Từ đó suy ra I(y) = − arctg y + C, để xác định được C ta có đánh giá:
+∞ ∫
|I(y)| ≤ e −xy∣ ∣ sin x ∣ +∞ ∫
∣dx ≤ e −xy −1
dx = lim
x
A→+∞ y (e−Ay − 1) = 1 y .
Vì vậy
0
lim I(y) = lim (− arctg y + C) = −π
y→+∞ y→+∞ 2 + C = 0, tức là C = π 2 .
Đến đây ta tính được I(y) = − arctg y + π 2
và ta được:
+∞ ∫
0
sin x
x
dx = lim I(y) = lim (− arctg y + π
y→0 y→0 2 ) = π 2 .