1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

4.1. Tích phân phụ thuộc tham số với cận cố định 85
⎧
⎪⎨
f(x, y) = − 1 y ⎪⎩
e−x y nếu y ≠ 0,
−1 nếu y = 0.
Dễ thấy f(x, y) không liên tục trên [0, 1] × [0, 1] nhưng tích phân phụ thuộc tham số
của nó là:
⎧
∫ 1
⎪⎨
I(y) = f(x, y)dx =
⎪⎩ e−1 y − 1 nếu y ≠ 0,
−1 nếu y = 0.
0
Đây là hàm số liên tục trên [0, 1] vì lim
y→0
+ [e−1 y − 1] = −1.
4.1.3 Tính khả vi và khả tích của tích phân phụ thuộc tham số
Định lý 4.1.3 (Tính khả vi)
Giả sử f(x, y) là hàm số xác định trong [a, b] × [c, d] liên tục theo x ∈ [a, b] với mỗi
y cố định thuộc đoạn [c, d]. Hơn nữa f(x, y) có đạo hàm riêng ∂f (x, y) là một hàm
∂y
liên tục trong [a, b] × [c, d]. Khi đó:
1. Tích phân phụ thuộc tham số I(y) =
∫ b
a
f(x, y)dx, y ∈ [c, d] là một hàm khả vi.
2. I ′ (y) =
∫ b
a
∂f
(x, y)dx,
∂y
y ∈ [c, d].
Chứng minh: Xét điểm y 0 bất kỳ thuộc đoạn [c, d]. Ta có:
I(y) − I(y 0 )
= 1 [ ∫ b
y − y 0 y − y 0
a
f(x, y)dx −
Áp dụng công thức số gia giới nội theo y ta có:
Khi đó:
∫ b
a
f(x, y 0 )dx ] =
f(x, y) − f(x, y 0 ) = ∂f
∂y (x, ξ)(y − y 0) với ξ nằm giữa y và y 0 .
∫
I(y) − I(y 0 )
b
=
y − y 0
a
∫ b
a
∂f
(x, ξ)dx
∂y
f(x, y) − f(x, y 0 )
dx
y − y 0