1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

4.3. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 99
I(y) =
+∞ ∫
0
{ π
d(xy)
1 + (xy) = nếu y ≠ 0,
2 2
0 nếu y = 0.
Rõ ràng lim I(y) = π ≠ I(0) nên I(y) không liên tục tại 0.
y→0
+
2
Ví dụ 2: Cho hai hàm số không liên tục tại những điểm (x, y) mà x.y = 1:
⎧
⎨ 1
{ 1
nếu xy ≥ 1,
f(x, y) = x
⎩
2 nếu xy ≥ 1,
y g(x, y) = x 2
0 nếu xy < 1.
0 nếu xy < 1.
Đặt I(y) =
+∞ ∫
0
f(x, y)dx và J(y) =
+∞ ∫
Ta tính được I(0) = J(0) = 0 và với y > 0 ta có:
I(y) =
J(y) =
+∞ ∫
0
+∞ ∫
0
f(x, y)dx =
g(x, y)dx =
+∞ ∫
1
y
+∞ ∫
1
y
0
g(x, y)dx với tham số y ∈ [0, 1].
1
x 2 y dx = 1 y
1
x 2dx = (
− 1 x
(
− 1 )∣ ∣∣
+∞
= 1
x
1
y
)∣ ∣∣
+∞
= y.
Như vậy lim I(y) = 1 ≠ I(0) còn lim
y→0
+
y→0 +J(y)
= 0 = J(0), tức là J(y) liên tục trên
[0, 1] còn I(y) thì không. Ví dụ này cho thấy rằng nếu hàm f(x, y) không liên tục
+∞ ∫
tục thì cũng không thể kết luận được tích phân I(y) = f(x, y)dx có liên tục hay
không.
Định lý 4.3.8 (Tính chất khả tích)
Giả thiết f(x, y) là hàm xác định và liên tục trên [a, +∞) × [c, d] và tích phân:
I(y) =
+∞ ∫
a
f(x, y)dx
hội tụ đều trên [c, d]. Khi đó ta có công thức:
∫ d
c
I(y)dy =
∫ d
c
dy
+∞ ∫
a
f(x, y)dx =
+∞ ∫
a
a
1
y
∫ d
dx f(x, y)dy.
c
Chứng minh: Theo giả thiết, tích phân I(y) hội tụ đều trên đoạn [c, d] nên với mọi
ε > 0 tồn tại A 0 = A 0 (ε) > a sao cho với mọi A > A 0 thì:
+∞
∫
∣ f(x, y)dx∣ <
ε với mọi y ∈ [c, d].
d − c
A